《金融衍生品》课件_第10章_波动率建模.pdf

第十章波动率建模本章内容一、不变波动率1、统计复习2、资产收益率均值和方差的估计 二、可变波动率1、加权重的波动率2、指数加权移动平均模型3、GARCH模型4、随机波动率模型5、波动率期限结构三、隐含波动率与波动率微笑1、隐含波动率的计算2、波动率微笑3、看涨、看跌期权的隐含波动率4、为什么存在波动率微笑现象？5、波动率期限与波动率曲面一、不变波动率 1、统计复习给定容量为N的随机样本d,，,布,样本 来自均值为外方差为。2的总体。M的最优估计为样本均值：_ 1 N/=方(10.1),V 2=1d和。的最优估计分别为：1 Ns2=7v T 凶一刃2(10.2)s=仁媛n?)(10.3)统计复习z的万差（72/N O三的标准误的估计量：Jw心（1。4）1 N=0,N很大时，s2=犷p工（X/-又产 的近似表-/V Izj：,=1NS2=（，婷（10-5）In i=l2、资产收益率均值和方差的估计(1)估计方法资产价格在实际概率测度下服从几何布朗运动=/ddt+adB(10.6)和。为待估计的未知参数，B为布朗运动。Zklog5=。一At+cjAB(10.7)年利率化连续复利收益率兀定义为:r：At eS9 1)(10.8)估计方法logs（九）-logs（力一）1 2 1 B（t）-）7.尸-At-+。-At-（10.9）j定义：Vi=n 6t=logS（L）登gS91）（10,10）VzAi（1）8（力）一5（心）服从均值为0、方差为4的正态分布。自（2）样本值,%,喇是独立随机变量J:列，每个变量服从均值为2g、方差为的正态分布。，（3）样本加的，,后是独立随机变量序列,每个变量服从均值 2为“彳）4、方差为M的正态分布。-Nf估计方法yi=rly/rAt=logS(力)-logS(1 i)g均值的最优估计为样本均值.y1 JL=万以，1V i=l(10.11).d的最优估计为.(10.12)这说明最优估计为,A y 12-12=涯+”=+”(10.13).(2)估计的可靠性考察作为从估计量的可靠性。注意到J-_ NHJlogS QJ logS 一 J _ logS(T)logS(O)r=N&=NA=logS(T)logS(O)(I。.14)(1)因此估计量中的第一项1只与S在时间区间上的总 变化量有关,其可靠性与在时间区间0,力上观测到多少个S 值无关。-(2)的方卜准差等于 logS(T)logS(0)/T的标7隹差ct/Vt，这个 标准差往往很大。例如当=0.3,采用10年的数据(T=10),则勺标准误为9.5%,这意味着95%的置信区间是一个宽度 近似等于38%的带状区域。的大小通常为10%的数量级，这样置信区间在实际中没有什么应用价值。.估计的可靠性所幸的是，。很估计是可靠的。9近似的等于二94b85（力）-啮（岛）2 no.15），当4tO,Ntoc,N Y/t2t.2(N-1)T Nj log.S f/J-logS(-i)2 0=1N=i=l(10.16)二、可变波动率1变权重的波动率 n N等权重的波动率模型：fgS C)lgS(J)2=：亡/i 1 i1将较大的权重用在最近的数据更加合理，因此，变权重的波动率模型可 以表述为：n2(10.16)。71+1-乙%i=l(1)变量a为第L天观察值所对应的权重，a,为正。“(2)当选择这些变量时，如果，寸，a,%,也就是我们将较少的权重给予了较旧的数据上。“(3)权重之和必须为1,即/匕%=1(10.17)2、自回归条件异方差(ARCH)模型假定方差存在某一长期水平，并且给予该方差一定权重，这 将得到以下形式的模型：“光+1=丫%+浮1%2(10.18).其中近为长期方差率，7为次所对应的权重，因为权重之和 仍为1，有.1+2忆1%=1(10.19).此模型最先由Engle提出，被称之为ARCH(n)模型。“3、指数加权移动平均模型（EWMA）如果波动率是随时间变化的，一个自然选择 是尽量避免采用离现在较远的历时数据，这些数 据包含的用于估计当前波动率的信息很少。但距离在多远的数据才可以看做无信息的数 据并不完全清楚。例如，估计中只用到60个观测 值，如果采用日数据，则在每天交易结束时将当 天的日数据添加到样本中，同时去掉前面第61天 的历史数据。这样做会导致估计值的突然波动。这显然不合理O这一X合蜃的估计量中，每个历史数据对波 动率估计值的影响应该随时间的推移平稳地减少。指数加权移动平均模型：模型结构指数加权移动平均模型（EW MA）一个特殊形式变权重波 动率模型，其权重随着时间以指数速度递减，具体地讲,。一尸如，其中“是介于。与1之间的某一常数。“当n为无穷大时,变权重波动率模型比+1=2X1%W 可以转换为：.A 2/Qrrf+1=（1-A）（10.20）指数加权移动平均模型衰减速度A 9 A 0 A 9,2(1 Adf 1(1 X)，1 A(1 X)y-X2Ji(10.21)%3=(1 A)/A2+A(l-X)y:+i+A2(l-A)y?+A3 t；(10.22)由此看出，离差平方请对未来某个时间段波动率估计所起的作用是逐渐减少的，在每个时间段，律在估计式中的权重比在 上一段时间段估计式中的权重小，这由权 重因子人决定。如果人很小，离差平方才 在估计式中的重要性递减很快。4、GARCH模型（1）模型结构综合AR CH模型和指数加权移动平均模型，Bolle rsle v（1 9 9 7）提出了广义自回归条件异方差（GARCH）模型：+1=片。+（1 片）（1 入）嫄+入娠（10.22）因此，江是两部分的加权平均，权重分别片和（1 片）,第一部分为常数。，第二部分是成和川的加权平均。，常数。称为“无条件方差”，而成称为的“条件方差二（2）波动率特征（A）大的收益（绝对值）会导致方差的增加,并因此极有可能导致随后一个更大的收益值（正的里者负的工。这就悬“游动集聚”，它 是实际市场上经常观测到的一种现象。（B）这一特征也说明，收益的分布是“厚尾 的”（或者更加专业地称为“尖峰厚尾”），这意味着极端收益发生的概率要高于用具有相 同标准的正态分布计算出的概率。很多证明表 明，绝大多数市场上的日收益和周收益都表现 出分布的“厚尾”性。（C）相反地，非常接近平均值的收益发生躯掣蠡1嬲髓勰翟懿假定下更尖峰厚尾隐含分布对数正态分布(2)GARCH模型模拟(风险中性概率测度)模型的离散化形式:1logS()-logS()=r-q-(10.23)力+ai-i-i ABal i kO(1 儿)(1 X)请 Act,2(10.24)其中，Vi定义为：logS Q)logS(力J (r q o 2)At(.-衣-(10-25)4、随机波动率模型(1)模型形式在GARCH模型中，尽管波动率是随机的，确是由股票价 格变动完全确定的本节讨论另一种模型，其波动率依赖于另一个布朗运动。最为流行的随机波动率模型是He ston模型。在这个模型中，-rflogS=dt+adBs(10.26).其中风为风险中性概率下的布朗运动。，随机波动率：模型形式不再是常数，C)=师，其中“服从随机微分方程：“du(0=k,6 u(0 dt+7V (0(10 27)其中瓦为风险中性概率下的布朗运动，并与布朗运动员相关,相关系数为P。方程中的小。、)均为正的常数。经验表明，负的收益产生的冲击对未来波动率的影响大于正的收益冲 击产生的影响，因此p应该为负值。/2、模型特征（1）“V。时（0-0为正，而当时（。一0为负，因此 d=会趋向于。，。为波动率d的长期值，或者无条件均值,与GARCH的。一样。因此称波动率是“均值回复”的。显然，上大小决定着波动率趋向。的速度，这与GARCH模型的情形 一样（2）从波动率的设定方程（10.27）可以看出，只要“趋 近0,”的波动率就趋近0,此时可以认为方程中的漂移项（趋近于。）与波动率相比起决定性作用，从而保证“非负，因此保证了定乂（7（%）=口面的合理性。”模型特征(3)此外参数)在波动率方差中所起的所用与GARCH模 型中所起的作用很类似。(淄1=(+(1 k)(1 X)yi+Act,2)pGARCH模型y；的权重1-入，就像随机波动率模型中的方差项的方差依赖于d a,的权重)一样。.3、模型的离散化和模拟可以将（10.26）和（10.27）离散化为logS(&+i)=logS()+9q,0(幻 2)力+,c(力)ABs(10.28)=1/（。）+左。一（力）4+（10.29）/尽管连续时间模型为了保证“、。，从而可以定义。V/y（0.3离散模型定义的“9+J却不能保证是非负的。一个简单的修正方法可以用以下的方式来离散化He ston模型“n(G+i)=max0,i/(力)+1(&)+W 小 AB(10 30).模型的离散化和模拟要对两个相关的布朗运动的变化量员和进行模拟，简单的方法是产生连个独立的标准正太分布随即变量4和句,然后令“Bs=/物和 力z(10.31)其中“2=Zi,Z*=p?Z2(10.32)。随机变量/也是标准正太随机变量，z和/的相关系数为p。5、波动率期限结构=出十。d6如果波动率是非随机的随时间变化的变量，logS(T)的方差为:f(y2(t)di,0(10.33)在计算期权价格时，需要输入资产价格的波动率，由(10.33)代替。2 _年平均波动率：avg 1GARCH模型：0(7)2=252(匕工I M#(10.34)Jo+L y V(0)-匕)三、隐含波动率与波动率微笑 1、隐含波动率其思路是认为流动性较好的期权市场（场内市场）是有 效市场，其市场价格是公平价格。因此可以从它的市场价格,以及其他变量都已知的情况下，根据某个模型（比如B-S模 型）计算出1个波动率，这个计算出来的波动率就叫做隐含 波动率Gm。“CB5（a|S,K,r,q,T-t）=Cm Cm期权的市场价格。.不同期限、不同执行价格的期权计算出的隐含波动率Gm不同，存在波动率的期限结构和波动率微笑特征。.2、波动率微笑波动率微笑现象是指在运用B-S模型计算隐含波动率时,发现同样标的资产，同样剩余期限的两个期权，若其执行价 格K不同，最后计算出的内7n也不同。“而波动率。本来是标的资产的。，与期权无直接关系，为何/m会和执行价格K有关？，波动率微笑假设是看涨期权，以Ke-T/s作为横轴，表示期权执行价 格K的现值S的关系。现值S固定，当K越小的时候,Ke-rT/sl的时候，看涨期权是 虚值期权。“对货币期权的研究发现，平价期权的时候，即Ke*/s=l 时计算出的隐含波动率。加是最小的，而对于实值和虚值期 权，其隐含波动率。i m都会增加。因此隐含波动率和执行价 格K有关。“波动率微笑Ke-rT/s股票期权的波动微笑对于股票市场，期权隐含波动率的微笑是不对称的，叫 做波动率倾斜（smi rk）o低执行价格期权（深度虚值看跌期 权和深度实值看涨期权）的隐含波动率要显著高于高执行价 格期权的隐含波动率。IKe TT/&3、看涨、看跌期权的隐含波动率对于看跌期权也有波动率微笑的情况。由于看涨、看跌期 权平价关系式，对于市场价格和B-S模型都成立：，“卜+SQeq7=Crs+Ke Pmki+=cmkt+Ke，一PBS-Pmkt=CBS-Cmkt在无套利情况下，剩余期限相同、执行价格相同的看涨、看跌期权的隐含波动率理论上是相等的。.而在实际市场中情况可能略有不 同。看涨期权用 于规避股 价上涨风险，看跌期权用于规避股票下跌风险，一般情况下 市场上希望规避股票价格下跌风险的投资者更多，因此用看 跌期权套期保值的投资者会比用看涨期权的投资者要多。导 致现实中看跌期权的隐含波动率可能会高于看涨期权的隐 含波动率，但偏差不会太大。，4、为什么存在波动率微笑现象？B6模型中我们假设的是股价对数服从正态分布。“可以直接用风险中性对看涨期权定价：“C(0)=e-rTERCiTy.C(T)=max(S(T)K,O)依赖于到期时S(T)的分布：“InS(T)=InS(O)+(r-q-a2T)+oVT-2其中是一个标准正态分布。“一个正态分布的极端概率(比如两个标准差之外的概率)是可以计算出来的。而通过实证研究可以发现，汇率的日收 益率变化情况与对数正态分布并不完全一致，存在尖峰厚尾 现象。“极端尾部概率一天内汇率变化大于1,2,，6个标准差的天数占所有观察日的比例（）历史数据正态分布历史数据正态分布11 SD25.0431.734SD0.290.01C2S1)5.274.555 SI)0.080.003SD1.340.276SD0.030.003注：31）=一大变化的标泄基。-0-C(极端尾部概率与隐含波动率当我们对一个看涨期权定价时，执行价格越高，对数正态 分布和隐含分布之间的概率差别越大。为了使B-S模型计算 出来的看涨期权价格与真实市场的价格相等，就必须提高对 数正态分布在右端的概率，因此采用更高的隐含波动率来计 算速度虚值看涨期权。，同理，随着执行价格降低，深度虚值看跌期权也需要用 更高的隐含波动率来计算。于是得到外汇期权的波动率微笑 曲线。对于股票市场，涨跌是不对称的，表现出慢牛和暴跌的特 征。而对于股票期权，由于市场上股票暴涨的概率和正态分 布比较接近，而暴跌的可能性比正态分布出现的概率要高。因此给深度虚值看跌期权赋予的隐含波动率更高。，5、波动率期限与波动率曲面交易员允制徽动串麻侬奸执行价格,也依赖于期队当短期限波动率在历史雌 时，腐徽孵往往是期限的递躯费,因为这时人弧为破冰锵会升高，类懒,当蒯 藏动率在历史高位时，波解往往是期限的递躯数，因为这时M认城解舲财。拔动率曲面是楸动率娜结构与财率微笑结合在一撕产生的表格,这一表舸用于对不同执行价格与不同期限的期权进行定价。波动率曲面KL/S0.900.951.0 01.0 51.101个月14.213.012.013.114.53个月14.013.012.013.114.26个月14.113.312.513.414.31年14.714.013.514.014.8,2年15.014.414.014.515.15年14.814.614.414.715.0