《金融衍生品》课件_第五章_连续时间模型.pdf

第五章连续时间模型连续时间模型 一、布朗运动 二、布朗运动的二阶变差 三、It6过程 四、It6引理 五、多维It6过程 六、It6引理的运用 七、红利再投资 八、几何布朗运动 九、计价物和概率变换 十、尾部概率的计算 H一、波动率、布朗运动 1、布朗运动 布朗运动（或称维纳过程）是一个是随时 间不断变化的随机变量，这个随机变量满 足一定条件：在任意时间段内该变量的增 量是一个独立的，均值为零，方差等于时 间长度的正态分布。2、布朗运动若变量打满足如下两个基本性质，则我们称变量B遵循布朗运动：性质1：时间s,变化量8()-8(s)为均值为八十 差为时间长度-S的正态分布。B(u)5(s)=Zyu s(8.1)8-N(0,1)oB(s)=Es BQ),布朗运动是一个鞅过程。性质2：对于，壬何两个不重叠时间间隔上，8增量 是相互独立的。2、布朗运动的模拟 可以把从0到T的时间分成N段。如分成N等份，在离散的I 8=8(J)+Ez,俏的表述成 这样一个公”：(8-2)一般地，将布朗运动的初始值设为0,B(0)=0o 基于以上公式，可以用e xce l对布朗运动的轨迹进 行模拟。如丁二1,一年的交易日数量为250,At=1/250o 对z在标准正态分布中进行重复随机抽样，这样 就可以生成BQ)的一个路径。其中，z=NORM.INV(RAND(),0/l).二、布朗运动的二阶变差 1、二阶变差 野即间的函数。考虑时间区间0,T上的一个离散O=to ti t2 )2=At 其微分形式：如2=仇。鞅过程：EdB(t)=O布朗运动的二阶变差常用到的三个基本的微分式：(m)2=0,(dt)(d8)=0,(dfi)2=df.三、代6过程1、代6过程的定义哂是指一个随机变量X(t),其随时间变化的规律可以表 不为 dX(t)=+a(t)dB(t)(8.5)其中B(t)为布朗运动，和O为两4 L分别称为过程X在时间t的“漂移”系数和 s 二数。当|1和o取常数时，称It6过程X为(山o)布朗运动。这里略去|1和。应该满足的正则条件，只要求在t时它们 的值已知。2、代6积分 对于任何T,将X的变化量按时间加总，到T TX(T)=X(O)+fo Mt)dt+o a(t)dB(t)(8.6)此处10r Mt)dt就是不同的积分；J0ro(t)d_ _ 近似理解为一个离散和式：(8.7)其中0二1 ti t2 tn=T,且所有时 间区间尚隔Li 一 L足够小。3、代6过程的性质 由于过程x变化量的期望值等于而 一个过程只有在改变量的期望等于o时才能 成为鞅过程，因而当时，X不是鞅过程。例如，当四0时，X具有随时间递增的趋势;同时，它又具有布朗运动上下波动的性质，其波动幅度有。决定。当以=0时，X过程为鞅过程。代6过程的性质 则It6过程是一个连续鞅，在给定0时信息条 件下，X(T)的方差为：T vaxX(T)=E 八 a2(t)dt oo IQ若dX=pdt+odB,B为布朗运动，则(dX)2=(p,dt+adB)2=|i2(dt)2+2|iadtdB+a2(dB)2=a2dt四、代6引理1、要解决的问题 y=G(xJ),如果x是一个普通变量。y的全微 分方程为：dG dGdG=dt+-dx d t dx(8.9)如果x是一个伊藤过程，y的全微分方程是 一个什么样的形式？2、代6引理dG dGdG=-7 dt+dx+ot ox102g,j,、2 1 d2G r、2 d2G 八+八 2赤（阳+5”（d%）+菽dtdx+当“是一个伊藤过程的时候，右的平方项不能忽略。“dG.,dG.,1 d2GdG=dt+dx+-dt dx 2 dx2(dx)2 dx=|i(t)dt+a(t)dB(t),(dx)2-a2(t)dtdG=（黑Mt）+）甥C-Z t/五、多维代6过程 dX(t)=|ix(t)dt+ax(t)dBx(t)dY(t)=|iy(t)dt+ay(t)dBy(t)g.1 力 其中Bx和By是两个不同的布朗运动，它们的 相关关系由其协方差或者相关系数确定。给定改变量Bx(u)-Bx(t)和By(u)-By(t)都服从均值为0、方差为U-t的正态分布。多维代6过程 若存在过程P(可能为随机过程)，使得给定t时信息条件下两 个正态分布的随机变量的协方差可以表示为 p(s)ds过程p称为两个布朗运动的相关系数。当P为常数时，Bx(u)Bx(t)和By(u)By(。的相关系数为：相关率和=两个变量的协方差=C pds=(u-t)p=不日天东数-两个变量标准差的乘积-声荷声-(8.15)(dX)2=决)北(dy(o)2=(f)df5(dX(f)(dV(。)=以町(f)p(t)dt.多维什6引理 Z(t)=g(t,X(t),y(t)dz=idHidx+d/+y(dx)2+探)2+瑞(dR(dY).六、It6引理的运用Products.If Z=XY,thendZ dX dY=+-Z X YdXar(8.17)XYRatios.If Z=Y/X,thendz dr dxdYdXdX68,18127=V-xYX+XExponentials.If Z=ex,then9dX+等.(8.19)It6引理的运用Logarithms.If Z=log X,thendz4T豹2Compounding/Discounting.Lety(f)=expq(s)dsfor some(possibly random)process q and define Z=XY forany Ito process X.We have dV)=q(f)/(f)df,anddZ 山 dX=qdf+.N 7 o (8,七、红利再投资资产 考虑一个股票投资，X(t)表示t时刻该投资组合中股 票的份数。0时持有1份股票，即X(O)=1。呼票的红利支付率q。瞬间红利支付为qS(t)X(t)dt。将该部分红利用于再投资购买新的月 以购买的新股票数量为qX(t)dt。dX(t)=qX(t)dt(gio、微分方程的解:X(t)=ecitX(O),其中X(0X(t)=eqt(8.20)红利再投资资产 资产价值：V(t)=X(t)S(t)X(O)=1,q(t)二q为常数时，资产价值：V(t)=eqtS(t)V(t)的微分式：?=(8.22)经济含义：资产收益包括两部分，红利收益和资 产利得。七、几何布朗运动W=|idt+odB(t)随机过程S称为几何布朗运动.上述公式表示在dt瞬间，S的变化率的期望 为皿t,变化率方差为Mdt。其中，日为漂移项，表示几何布朗运动以平 均增长率M曾加;。为波动率。几何布朗运动的等价形式(Ilog S(t)=1di+odB(i)bg s(f)二 bg s(。)+-万次)t+B(t)乙)S(f)=S(0)exp(p：t-a2t/2+(8.26)模拟几何布朗运动考虑时间区间。口上的一个离散划分O=to tit2.tn=To At=-心等价于：Al ogS=（鼠一l og S侑）=l og S（a）+,_。此 z（828）d I Z是标准正态分布。九计价物和等价鞅测度变换1、等价鞅测度变换 Girsanov定理与布朗运动的等价鞅测度 这是第四章的扩展，将单期模型鞅定价模型推广到连续时间的 情形下。当对概率测度P变换后，随机变量的期望值会发生变动。因此，在概率测度P下为布朗运动的随机过程B(t),其增量的期 望值E B(u)-B(s)=0,变换到另外一个等价概率测度，下，该增量 的期望值不一定等于0。因此变换到另外一个等价概率测度时，原来的布朗运动不一定 仍然是布朗运动。同样，对概率测度P等价变换后，原概率测度 P下的鞅过程在新的等价概率测度，下，可能不再是一个鞅过程。但是，我们可以找到另一个与原有的布朗运动有联系的新随机 过程，使得新的随机过程在变换后的等价概率测度下是一个布 朗运动。对布朗运动进行等价概率测度变换Girsano v定理对布朗运动进行等价概率测度变换Girsanov定理：，设B(垃OW tW T是概率空间0E P上的布朗运动。下，0 4 tK T是关于该布朗运 动的流域(信息集)。设4(。，0 t T是一个适应过程2。定义”Z(t)=e xp 一二乃九 一/二颂8(明(5.36*在eJ：乃(U)Z2()dT(h所以，(1)Z(t)可以作为Radom Nikodym导数，定义等价概率测度内户(4)=(Z)dP)(5.37或者Udp=Z(t)dP i7(2)在概率测度下，随机过程8(t)=B(t)+J；M)m,0 tT是一个布朗运动。d19过程的等价鞅测度变换对于概率测度P下的It6过程，当概率测度等价变换后，它仍然是一个It6过程。与上一 章的鞅定价中的等价概率测度变换一样，我们对It6过程概率测度进行等价变换后，只改变 1窗过程的漂移项系数，而扩散系数和相关系数保持不变。下面分析It6过程dX(t)=g(t,X(t)dt+d(t,X(t)dB(t)(5.42-的等价鞅测度变换。，由 dB(t)=dB(t)+可得udB(t)=-A(t)dt+dF(t)(5.43将(5.43)式代入(5.42)式，整理后可得，dX(t)=g(t,X(t)-A(t)j(CX(t)dt+a(t,X(t)dB(t)(5.44为了使(5.44)为鞅过程，令2(。=坐黑，则(5.44)式为udX(t)=0(t,X(t)dE(t)(5.55-因此，当%()=(5.56时，IS过程转换为等价概率测度户下的鞅过程。p2、计价物 假设市场上存在这样三个资产：(1)无风险资产R,计价物R(t)=ert；(2)风险资产S(红利收益率为q),计价物V(t)=e qts(t)；(3)风险资产及计价物Y(不分红或者分红已经包括在资产价格中)。各自满足如下随机过程：R dS T dY Yrdt,=Ns df+(7s dBs 5fiydt+aydBy,dR _Bs和By存在一定相关性，相关系数是p,dBsdBy=pdto3、概率测度变换找到某一计价物下，风险资产的随机过程。具体步 骤如下：步骤一：确定资产价格与计价物的比值（根据鞅定价原理，该比值在某一个概率测度下为一个鞅过程）；步骤二：对资产价格与计价物的比值运用 代6引理;步骤三：鞅过程的漂移项为0,这一性质计 算售的漂移项。(1)计价物：R(t)=ert(风险中性测度)Z三眼 是一个鞅过程。对Z运用比6引理:dZ dV dSy=-rdf+y=(q-r)df+j为了保证上述随机过程的漂移项为0,(S/S的 漂移项系数必须为(r-q川f,即：dS/口-y=(r-q)df+asd5f其中，Bf是风险中性测度下的布朗运动。无风险资产作为计价物（风险中性）的概率测度下时，由“定义的过程H（t）为鞅过程。对H Q）运用It6引理，可得詈=（q r）dt+=（jis+q-r）dt+JsdBs（5.57）“根据（5.56）式，取）=Q1,则在实际概率测度下，呼的随机微分方程为“d 呼=X（t）dt+dBs 那么dBs=s+L.+d.（5.58）“as将（5.58）式代入（5.57）式，有“dH 07T=OsdBg n因此，在风险中性概率测度下，H是一个鞅过程。此时，资产价格S遵循的随机微分方 程为dS fir+q t D=fisdt+asdBs=fj,sdt+as-dt+dBg/S（s由此得出，在风险中性概率测度下，资产价格S的随机微分方程为：“=（r q）dt+（JsdBg（559）/呼是风险中性测度下的布朗运动。蜉在实际概率测度下的随机微分方程为：dB=如 一 _ Q）dt+d匕 as(2)计价物V(t)=eqtS(t)：(W-dS V=qdH-SZ(0=是一个鞅过程。对Z(t)运用It6引理:(2 dV 2x u dS(8.32)2 _ rdf _ v+(v I r q+/川f-g为了保证上述随机过程的漂移项为o,dS/S的 漂移项系数必须为(r-q+b dt,即：.二(r-q+4)dt+方 dB?,其中，Bg是以V(t)=e qtS(t)为计价物时的布朗运动。（3）计傀物y（t）7（t =LJ.一如 是一个鞅过程。对z（t）运田什a引理:dZ_dV dZ/d 八仅八/d/2 z=v-y-MM+MdS(1/2、“=-q+(q _ PS)y+y)df(8.34)华的漂移项必定等于（r+*）dt。为了回不上 述随机过程的漂移项为0,必须有：dS=(r q+p K的概率:S(T)K q l ogS？l ogKq aBnum(T)l og/(-l ogS(0)-anuniTBnum(T)l og/(-l ogS(0)-anumT-35)7T 飞gnum l og(平)+(即7 z=-K)=N(c/)这里，d+Qnum T(8.37)NTprobnum(S(T)K)=N(-d)H一、波动率假设存在两个几何布朗运动X和Y,它们的 相关系数是P。十 二xdf+OxdBx and-y-=/ly df+JydByZ=XY Z=Y/Xl、z二XY的波动率对z运用代6引理，有y (“x+“y+Ox dBx+叫 dBy因此,(7x dBx+7y dBy)2z二X Y的波动率就等于或+力+2/”吗2、Z二Y/X波动率对Z运用It6引理，有因此，(7)W (，y Kx-pOxy+宕)df+叩 dBy-(jx(国2=(Ty dBy Ox(18x)2=(x+,一 2/啊叩)di.Z二Y/X的波动率就等于J寸+E _ 2poxOy.