河北省巨鹿中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题.doc

河北省巨鹿中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题

河北省巨鹿中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题

年级：
姓名：

14

河北省巨鹿中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题
考试范围：必修二：第四章 选修2-1：第三章 必修三:第二章（不含系统抽样、茎叶图）
一、 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．设，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．向量，若且则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取容量为60的样本，其中高二年级抽取15人，高三年级抽取25人，已知该校高一年级共有800人，则该校学生总人数是（ ）
A．4800 B．2400 C．1600 D．3200
4．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值分别为　(　　)
A. B．
C． D．
5．直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为(　　)
A． B．
C． D．
6.直三棱柱的侧棱,底面中，,,则点到平面的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C. D．
7．突如其来的疫情打乱了我们的学习节奏，郑老师为检查网课学习情况，组织了一次网络在线考试，并计算出本次考试中全体学生的平均分为90，方差为65；后来有两位学生反应，自己的成绩被登记错误，一位学生的成绩为88分，记录成78分，另一位学生的成绩为80分，记录成90分，更正后，得到的平均分为，方差为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为,动点满足，当不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、 选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军. 辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
10．已知圆和圆：交于、两点，下列说法正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为

C．线段的长为
D．所有过点、的圆的方程可以记为

11． 流行性传染疾病是全人类的公敌.某数学小组记录了某月14日至29日某流行性疾病在全国的数据变化情况，根据该折线图，可以得出正确的是（ ）
A. 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量
B．16天中每日新增确诊病例数量均下降且18日的降幅最大
C．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500
D．22日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和
12．已知圆和圆分别是圆和圆上的动点，为轴上的动点，则关于的最值，下列正确的是（ ）
A．无最大值
B．既有最大值又有最小值
C．无最小值
D．的最小值为
三、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13． 某校高二年级从甲、乙两个班各选出10名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩从低到高排列如下
甲班：74 75 76 81 84 88 92 97 98
乙班：79 79 80 82 83 91 91 96 98
其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是86，则的值为_______．

14．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格
8.5
9

11
11.5
销售量
12

6
7
5
已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______.
15．若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为____________．
16. 已知结论：在平行四边形中，有，且此结论可以推广到空间,即：在平行六面体中，有.某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为2，且它们彼此的夹角都是，则其体对角线的长度是__________
四、 解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）某同学暑期做社会实践活动.对气温与某饮料的销量之间的关系进行调研，记录连续5天的数据如下:
气温x()
9
10
12
11
8
销量y(杯)
22
25
29
26
20

（1） 在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

（2）求出关于的线性回归方程，试预测气温是15度时大约可销售多少杯（取整数）?
（注：，）
18.（12分）正四棱锥中，底面正方形的边长为，点是底面中心..且的中点.
(1) 求
(2) 若求

19.（12分）已知直线平分圆的圆周，且该圆被轴截得的弦长是圆的一条最长的弦.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为.记四边形的面积为，求的最小值.

20.（12分）如图，在正三棱柱中，边长为4，，分别为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求锐二面角的余弦值.

21.（12分）“中华好诗词”河北赛区有40名选手参加初选，测试成绩（单位：分）分组如下：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求直方图中的值，若90分（含90分）为晋级线，有多少同学晋级？
（2）根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均值；
（3）用分层抽样的方法从成绩在第3组到第5组的选手中抽取6名同学组成一个小组，每组中应抽取多少人？

22.（12分）如图所示在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点为棱的中点．
（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（2）若，平面与平面所成锐二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角的正弦值．

2020-2021学年度第一学期第一次月考
高二数学参考答案及评分标准
1-6 ACBD BD
5．B
由题得，所以直线过定点.
当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,
所以.所以直线l的方程为. 故选：B
7【答案】B 由于，因此更正前后样本的平均数不发生改变，即；
由于，因此更正后样本的方差变小，即；
8【答案】C 以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；
则： 设, ，
两边平方并整理得： ，
当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，此时面积为
9 【答案】BCD
因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，
10【答案】AB
A. 因为圆：和圆：相交于、两点，所以两圆有两条公切线，故正确；
B. 圆：和圆：的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；
C. 圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故错误；
D. 因为，所以可知，该园方程恒过两点，方程可化为，而
所以方程表示圆，但不包括圆M，故不正确. 故答案为：AB
11【答案】ACD
对A，19至27日，每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量，且差距较大，
27至29日每日新增确诊数大于新增治愈病例数量，且差距较很小，综合可得，
19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量，故A正确
对B，19日至20日新增确诊病例数量上升，故B错；
对C，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差分别约为：2300、1800、
2500，均大于1500，故C正确；
对D，由图可知22日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和
故选：ACD.
12【答案】AD

结合图形可得无最大值
故选：AD．
13【答案】174
14 【答案】10
依题意，代入回归直线方程得①，根据题意②，解①②组成的方程组得，故填.
15【答案】表示圆则又因为点在圆外则 ,所以
16. 故
17【答案】
（1）散点图

----3分
（2），，，
- ----5分
∴，， -----8分
∴回归直线方程：， -----9分
令，得，
∴预测气温是15度时大约可销售35杯. -----10分

18.（1）如图建立直角坐标系，---------3分 ----------6分
（2） 则得----------9分
由（1）可知 ----------12
19.（1）由题意知，圆心在直线上，即，
又因为圆心在轴上，所以，由以上两式得：，，------------3分
所以.
故圆的标准方程为. ------------5分
（2）如图，圆的圆心为，半径，因为是圆的两条切线，
所以，，故
又因为， ------------8分
根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可.
易知，当点坐标为时，. ----------10分
此时. ----------12分
20 解：（1）证明：连接在三棱柱中，因为底面，
平面，所以.又为等边三角形，E为的中点，所以.
因为，所以平面 所以平面平面 ----------4分
（2）解：取中点F，连结，则因为D，F分别为，的中点，
所以.由（1）知，，
如图建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，
,,，， -----6分
设平面的法向量，，，
则，令，则.
同理可得平面法向量. 令，则.
-----10分
所以. 故所求锐二面角的余弦值是---12分
21
（1）因为，所以， --------2分
成绩大于等于90人数为 人 ------4分
（2）根据频率分布直方图可知众数在第2组中取组中值为82.5（分） ------5分
所以成绩的平均值为（分）---8分
（2）第3组学生人数为，第4组学生人数为，第5组学生人数为，人数之比为 ------ 10分
所以各组的抽取认数：第3组的人数为3人，第4组学生人数2人，第5组的人数为1人 -----12分

22【答案】（1）在棱BC上存在点E，使得CF∥平面PAE，点E为棱BC的中点.
证明：取PA的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥AD且，CE∥AD且，
故CE∥FQ且CE＝FQ.∴四边形CEQF为平行四边形.
∴CF∥EQ，又平面PAE，在平面PAE内，
∴CF∥平面PAE；------------- 4 分
（2）取AB中点M，以D为坐标原点，以DM，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设FD＝a，则D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），
B（，1，0），A（）.，.-------------- 6 分
设平面FBC的一个法向量为.
由，取x＝1，得；
取平面DFC的一个法向量为.------------------------8分
由题意，
，解得a.-----------------10 分
∴. 设直线AF与平面BCF所成的角为θ，
则.
即直线AF与平面BCF所成的角的正弦值为.----------------- 12分