四川省南充高级中学2021届高三数学上学期第八次月考试题-理.doc

四川省南充高级中学2021届高三数学上学期第八次月考试题 理

四川省南充高级中学2021届高三数学上学期第八次月考试题 理

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四川省南充高级中学2021届高三数学上学期第八次月考试题 理
（时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. 4 B. C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 直线，，若，则或
D. 命题“若，则”的否定是“若，则”
3. 设，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，若，则在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
6. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记为图中虚线上的数1,3,6,10,...构成的数列的第项,则的值为（ ）
A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101
7. 在中，内角、、所对的边分别为，且，则角的大小是（ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑半三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π. 其中正确的个数为（ ）　
A．1 B．2 C．3 D．4
9. 某学校新来了四名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生不分配到甲班级的分配方案种数是（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
10. 已知正方体的棱长为，为棱的中点，为正方体侧面内（包含边界）一点，若平面，且面积的最大值为，最小值为，则（ ）
A. B. C. D. 5
11. 点是双曲线右支上一动点，，为双曲线的左右焦点，过点作的平分线的垂线，垂足的轨迹为曲线，，且直线与曲线有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，，若对任意，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为
14. 已知圆，则圆关于直线的对称图形的标准方程是
15. 设实数满足约束条件，若的最大值与最小值的差为7，则实数
16. 设函数，存在，使得函数有四个零点，，，，则的取值范围是
三、解答题：共70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 正项递增等比数列满足，，记数列
（1） 求数列、的通项公式；
（2） 令，数列的前项和为，证明：，都有

18. 已知的内角的对边分别为，函数的一条对称轴为，且
（1） 求的值；
（2） 若，求边上的高的最大值.

19. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且平面，是的中点，且．
（1） 求证：平面；
（2） 已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

20. 已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，是椭圆上异于、的任意一点，且
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 过右焦点的直线与椭圆交于、两点，是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由.

21. 已知函数，曲线上存在两点、，使得曲线在这两点处的切线都垂直于轴.
（1） 求实数的取值范围；
（2） 设函数，判断并证明函数的零点个数；
（3） 设是函数的极值点，是函数的一个零点，且，求证：

（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：极坐标与参数方程]已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1） 求直线与曲线的普通方程；
（2） 已知，直线与曲线交于、两点，求.

23. [选修4-5：不等式选讲]已知均为正实数，求证
（1） .
（2） 若，则.

第八次月考参考答案（理科）
10. 选择题
BDDBA BACBC AC
11. 填空题
B. 14. 14. 15.
12. 解答题
B. （1） ......6分
B.
......12分
C. （1）由已知，又，故
，又
故 ......6分
（2）
由余弦定理有，则，当且仅当取“=”
故 ......12分
D. （1）连接交于点，连接，
则点为中点，又点为中点，故
而平面，平面 故平面 ......4分
（2）因为，又因为平面，所以，
而，因为，底面是正三角形，
所以，，代入得．
以为轴正方向，为轴正方向，过作的平行线为轴正方向建立空间直角坐标系，所以，，，，，
因为平面，且平面，
所以，又，且，故平面．
取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
则，．因为，，所以
令，，，则．
又，所以与夹角的余弦值为，
所以二面角的余弦值为． ......12分
E. （1）设，则，
又
，又，故
椭圆的标准方程为 ......5分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时 ......6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程的方程为，
由得

又，同理

故 ......12分 （也可以用直线参数方程求解）
F. （1）由已知，有两个不等实根有两个不等实根
令，则，故在上单调递增，在上单调递减
又，，当时，，故 ......4分
（2）
令，在上单调递减
又
存在唯一，使得，故在上单调递增，在上单调递减
，令，
，即，故函数有两个零点 ......8分
C. 由已知
当时，，又，故
......12分
G. （1）由已知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其标准方程为

即直线的普通方程为 ......5分
B. 点在直线上，则直线的参数方程为，代入得
，设点对应的参数分别为，则
......10分
H. （1）均为正实数
则
，当且仅当时取等号 ......5分
（2）由柯西不等式有
又
故，当且仅当时取等号 ......10分