上海市宝山区2021届高三数学下学期4月期中等级考质量监测试题.doc

上海市宝山区2021届高三数学下学期4月期中等级考质量监测试题

上海市宝山区2021届高三数学下学期4月期中等级考质量监测试题

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11

上海市宝山区2021届高三数学下学期4月期中等级考质量监测（二模）试题
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 抛物线的焦点到准线的距离为

2. 不等式的解集为

3. 若关于、的方程组有无穷多组解，则的值为

4. 若（是虚数单位）是方程（）的一个根，则

5. 已知常数，若函数反函数的图像经过点，则

6. 设无穷等比数列的公比为，若，则
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为
8. 在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）
9. 如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线
旋转所得到的几何体体积记为，将△绕直线旋转所得到的几何体体积记为，
则的值为

10. 为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知
识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为 （结果用最简分数表示）
11. 设函数（），若函数的零点为4，则使得
成立的整数的个数为

12. 如图，若同一平面上的四边形满足：（，
），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

14. 某班有学生40人，将这40人编上1到40的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为4
的样本，已知编号为3、23、33的学生在样本中，则另一个学生在样本中的编号为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

15. 在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负
半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（ ）
A. B.
C. D.

16. 如果数列同时满足以下四个条件：（1）（）；（2）点在
函数的图像上；（3）向量与互相平行；（4）与
的等差中项为（）；那么，这样的数列，，，的个数为（ ）
A. 78 B. 80 C. 82 D. 90

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在四棱锥中，平面，是边长为2的正方形，，为侧棱的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

18. 将关于的函数（）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像
记为，并设所对应的函数为.
（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；
（2）设，若函数（）对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

19. 某地区的平面规划图中（如图），三点、、分别表示三个街区，，
现准备在线段上的点处建一个停车场，它到街区的距离为1，到街区、的距
离相等.
（1）若线段的长为3，求的值；
（2）若△的面积为，求点到直线的距离.

20. 设平面直角坐标系中的动点到两定点、的距离之和为，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过上的点作圆的两条切线，切点为、，直线与、轴
的交点依次为异于坐标原点的点、，试求△的面积的最小值；
（3）过点且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点、，线段的垂直
平分线与轴交于点，线段的中点为，是否存在（），使得成立？请说明理由.

21. 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（）倍，则称该数列
具有性质.
（1）已知数列，，具有性质，求实数的取值范围；
（2）删除数列，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项
按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，
试求实数的最大值；
（3）记（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ）（，这里）”.

答案
1【答案】
【解析】由抛物线的定义得的焦点到准线的距离为.
2【答案】
【解析】由解得，故解集为.
3【答案】
【解析】由题意得应为同一方程，所以，所以.
【注】也可使用行列式求解.
4【答案】
【解析】由题意得另一根为，
由韦达定理得
5【答案】
【解析】由题意得的图像经过点，所以，所以.
6【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以，又，所以.
7【答案】
【解析】

由三视图可得直观图，在四棱锥中，最长的棱为
即
8【答案】
【解析】，
故只由提供，的系数为.
9【答案】
【解析】为圆柱体的体积，为圆锥体的体积，
，所以
10【答案】
【解析】选择的4天恰好为连续4天的概率是.
11【答案】
【解析】因为函数的零点为，所以，又，
所以，所以，所以，
根据复合函数的单调性，易得在上单调递减，且，
由得，所以，
故，又，
故，故整数的个数为.

12【答案】
【解析】法一：因为，
所以，
过点作于，过点作于，
因为的面积是面积的，所以，从而，
在的两边同时点乘，
得，
由向量数量积的几何意义（投影）得，
从而，即，
整理得，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
法二：在的反向延长线上取点，使得，
由平面几何知识得，

转化为，
由奔驰定理得，即，
从而，以下同法一.

13【答案】A
【解析】，故为充分非必要条件，选A.
14【答案】B
【解析】学生40人，现用系统抽样的方法，从中抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为10，故另一个学生在样本中的编号为13
15【答案】D
【解析】因为互为反函数，其交点在上，
又，所以，而，所以，
所以，故选D.
16【答案】B
【解析】由（1）得，由（2）得，由（3）得，
由（4）得，从而或，
从而，故，
考虑的变换，
每一步变换均为或，且和所加之和
相等，
①若，则，则9步中只有1步为，且只能在2边，故有3种；
②若，则，则9步中有3步，6步，
共有种；
③若，则，则9步中有5步，4步，
共有种；
④若，则，则9步中有7步，2步，
共有种，
⑤若，则，则9步都为，共有1种，
综上，共有种，选B.

17【答案】（1）；（2）.
18【答案】（1）和；（2）.
19【答案】（1）；（2）.
20【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由略.
21【答案】（1）；（2）；（3）证明略.