吉林省长春市希望高中2020-2021学年高一数学下学期第一学程质量测试试题.doc

吉林省长春市希望高中2020-2021学年高一数学下学期第一学程质量测试试题

吉林省长春市希望高中2020-2021学年高一数学下学期第一学程质量测试试题

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- 18 -

吉林省长春市希望高中2020-2021学年高一数学下学期第一学程质量测试试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将准考证号准确的填涂在答题卡上。
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．( )
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
6．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．两直角边互不相等的直角三角形
8．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是（ ）
A． B．
C． D．
9．把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．图象关于直线对称 B．在上单调递减
C．图象关于点对称 D．在上单调递增
10．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
11．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，
由上述信息可求得（ ）
A． B．
C． D．

第Π卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13．在中，角、、所对的边分别是、、，已知，，且角则角_______.
14．已知,则=__________
15．将函数的图象向左平移后得到一个奇函数的图象，则的最小正值是___________.
16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，，，为三角形的三边）．在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若，且，则的面积最大时，________．

三、解答题（共6小题，满分70分，写出必要的文字说明和解题步骤）
17．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，.
（1）求；
（2）求的面积.

18．已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）当时，求函数的值域．

19．在中，分别为内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.

20．已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）若，的值域是，求m的取值范围

21．在△ABC中，角A，B，C所对的变分别为a，b，c，已知
（1）求角B的大小；
（2）若，求的最大值.

22．已知函数，其中.
（1）若方程在上至少存在8个解，求的取值范围；
（2）若函数在上为增函数，求的最大值.

参考答案
1．C
【分析】
利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值.
【详解】

，
故选：C.
2．B
【分析】
利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】

，
故选：B.
3．D
【分析】
三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.
【详解】
在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理知：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.
故选：D
4．A
【分析】
首先利用同角三角函数基本关系求出得值，再利用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】
因为且，
所以，
所以，
故，
故选：A.
5．A
【分析】
由利用余弦定理可得，结合的范围，即可得的值．
【详解】
中，，
可得：，
由余弦定理可得：
，
，
，
故选：A.
6．A
【分析】
利用函数的单调区间求解．
【详解】
由得，，
增区间为，．
故选：A．
7．C
【分析】
利用正弦定理对所给等式进行边化角并利用二倍角公式可整理得，推出或，即可判断三角形形状.
【详解】
，由正弦定理得，即，
或，或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
【点睛】
本题考查正弦定理，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
8．C
【分析】
先由cos α＝，cos(α＋β)＝，求出sin α＝，sin(α＋β)＝，而sin β＝sin[(α＋β)－α]，然后利用两角差的正弦公式展开，代值求解即可
【详解】
解：∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，
∴0<α＋β<，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
故选：C
9．D
【解析】
由题意
其图象向右平移个单位后得到函数，
当时，则，此时函数单调递增，故选D.
10．D
【详解】
由图象可知
，，
∴，
则.
将点的坐标代入中，
整理得，
∴，
即；
，
∴，
∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.
，
∴既不是奇函数也不是偶函数，
故A错误；
∴的最小正周期，
故B不正确.
令，
解得，
则函数图像的对称轴为直线.
故C错误；
由，
可得，
∴函数的单调递增区间为.
故D正确；
故选：D.
11．B
【分析】
利用正弦定理将边化为角，再逆用两角和的正弦公式化简即可.
【详解】
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
所以，又，所以，
所以，又，所以.
故选：B
12．D
【分析】
如图作三角形，先求出，再求出的值.
【详解】
如图，等腰三角形，,，取中点连接.

，
由题意可得，
所以，
所以，
所以.
故选：D
13．
【分析】
由正弦定理即可解得.
【详解】
解：，，且角
由正弦定理可得
解得

故答案为：
14．
【解析】
，
两边平方得： ，则.
15．
【详解】
将函数的图象向左平移后得到,
因为函数是一个奇函数，
所以，
解得，
所以的最小正值是，
故答案为：
16．
【详解】
∵，∴，
即，
，且，则，
∴，∴，又，
∴，
∴时，．此时，
，而，
∴．
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理即可求得的值；
（2）利用面积公式即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理得：，
即，
所以，
（2）的面积为
.
18．（1）；（2）
【详解】
（1）因为，
令，解得
所以函数的单调增区间为.
（2），，，
利用正弦函数的图像与性质知，
所以的值域为.
19．(1) .
（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理，将边转化为正弦，化简，求出三角函数值，根据角B的范围，求出角B；（2）由已知条件和余弦定理求出，即可求出的面积．
试题解析：（1）由正弦定理，知，
由，得，
化简，得，即.
因为，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，即，
因为，，所以，，即.
所以，.
20．（1）；（2）.
【详解】
（1）
.

.
因为的最小值为π，
所以的最小正周期，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由，可得，
因为的值域是，所以，
结合的图象可知，
解得，
所以m的取值范围是.
21．（1）；（2）.
【详解】
（1）由，得，
得，
得或（舍），
因为，所以.
（2）由正弦定理可得
所以

，
又，可得当时，最大为.
22．（1）（2）
【分析】
（1）化简函数，由得，故该方程为上至少存在8个解，可知，即可解得的取值范围；（2）求出的周期，由函数在上为增函数，可知，即可解得的最大值.
【详解】
解：

（1）令，得，
故该方程为上至少存在8个解.
所以，.
（2）函数的周期，
因为函数在上为增函数，
所以，
所以，的最大值为.