高二数学-空间向量和立体几何测试题.doc

高二数学 空间向量与立体几何测试题
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B.1 C. 2 D. 3
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 （ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
3．若向量、 （ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
4．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于 （ ）
A. B. C. D.
5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 则 （ ）
A. B. C. D.
6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
7．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
8．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的
中线长为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知 （ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
10．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当
取得最小值时，点Q的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ．
12．12、若向量 ，夹角的余弦值为，
则等于__________.
13．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，
以｛，，｝为基底，则＝．
14．已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为 。
15.在三角形ABC中，A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n与平面ABC垂直，且|m|=,则n的坐标为。
16.已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a||b,则与的值分别是.
三、解答题（本大题共5小题,满分70分）
17．(12分) 已知空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，

B
A
D
C
用向量证明：AC与BD也互相垂直．

18．（14分））如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．

19．（14分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若ÐPDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

20．（15分）在正方体中，如图Ｅ、Ｆ分别是 ，ＣＤ的中点，
（1）求证：平面ADE；
2）cos．

21．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，

，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）证明 平面；
（2）证明平面EFD；
（3）求二面角的大小．

空间向量与立体几何(1)
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
C
A
B
A
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．0 12．－2 13． 14．60°
15。（2，-4，-1），（-2，4，1） 16。.
三、解答题（本大题共5题，共76分）
17．证明： . 又，
即.……①.
又，即.……②
由①+②得：即..
18． 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)∵＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2,
∴ cos á，ñ＝＝＝．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为．
19．证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵E为AB的中点，F为PC的中点
∴E(a, 0, 0)，F(a, b, c)
(1)∵＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
∴＝(＋) ∴与、共面
又∵EÏ平面PAD∴EF∥平面PAD．
(2) ∵＝(-2a, 0, 0) ∴·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0
∴CD⊥EF．
(3) 若ÐPDA＝45°，则有2b＝2c，即b＝c，∴＝(0, b, b)，
＝(0, 0, 2b) ∴ cosá，ñ＝＝∴á，ñ＝45°
∵⊥平面AC，∴是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：90°－á，ñ＝45°．
20．解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），
E（1，1，），F（0，，0），
则＝（0，，－1），＝（1，0，0），
＝（0，1，）， 则＝0，
＝0， ，.
平面ADE.
（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－， ，，

则cos..
21．解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设
(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.
依题意得
底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，
故点G的坐标为且
. 这表明.
而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
(2)证明：依题意得。又故
, 由已知，且所以平面EFD.
(3)解：设点F的坐标为则
从而所以
由条件知，即 解得 。
点F的坐标为 且
,即，故是二面角的平面角.
∵且
,所以，二面角C—PC—D的大小为

江苏省海安高级中学期末复习测试
空间向量与立体几何(2)
姓名班级
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是 （ ）
A． 点关于轴对称的坐标是
B． 点关于平面对称的坐标是
C． 点关于轴对称点的坐标是
D． 点关于原点对称点的坐标是
3．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2a－b互相垂直，则的值是（ ）
A.1 B. C.D.
4．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于（ ）
A. B. C. D.
5．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C．D．
6．已知向量，，则a与b的夹角为 （ ）
A. 0° B. 45° C. 90° D. 180°
7．已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平
面上的射影的坐标依次为，和，则 （ ）
A． B.
C. D.以上结论都不对
8、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点，且,则点的坐标是 ( )
A. B. C. D.
9、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
则△BCD是 （ ）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
10、已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为 （ ）
A. B.C. D.1
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11、若同方向的单位向量是_________________.
12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，
若＝，则x＋y＋z＝．
13、已知，则的值为。
14、已知向量a和c不共线，向量b≠0，且，d＝a＋c，则＝．
15．已知三角形的顶点是，，，这个三角形的面积是 。
16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的
三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点
为端点的晶体的对角线的长为。
三、解答题（用向量方法求解下列各题,共70分）
17、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．
（1）证明：AEC1F是平行四边形；
（2）求AE和AF之间的夹角的余弦；
（3）求四边形AEC1F的面积．

18．如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，
SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

19、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（1）求A1B与平面ABD所成角的大小．
（2）求A1到平面ABD的距离．

21.P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，
.
（1）求证：PA平面ABCD. （2）对于向量，定义一种运算：
，试计算的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=）.

空间向量与立体几何(2)
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
A
B
C
A
C
C
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．（0，，） 12．0 13． 1,-3 14．90°
15。 16。
三、解答题（本大题共6题，共76分）
17．（1）略 （2） （3）
18．（1） （2）
19．（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
（Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.
又PE : ED=2 : 1，所以
从而
（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

令 得

解得 即 时，
亦即，F是PC的中点时，、、共面.
又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.
20．(14分)解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）

E（a，a，1） G（）.
，
，解得a=1.

.
A1B与平面ABD所成角是.
（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

平面AA1E，又ED平面AED.
∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，
∴点A在平面AED的射影K在AE上.
设， 则
由，即， 解得.
,即
即点A1到平面AED的距离为.
21.解：（1）

（2）
V＝
猜测：在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）

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