高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试题.doc

东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题
一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分）
1、若,,是空间任意三个向量, ,下列关系式中,不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2、给出下列命题
①已知,则;
②A、B、M、N为空间四点,若不构成空间的一个基底,则A、B、M、N共面;
③已知,则与任何向量不构成空间的一个基底;
④已知是空间的一个基底,则基向量可以与向量构成空间另一个基底.
正确命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、已知均为单位向量,它们的夹角为60°,那么等于（ ）
A． B． C． D．4
4、且,则向量的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5、已知且,则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6、若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则能使的是（ ）
A． B．
C． D．
7、在平面直角坐标系中, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后,则线段AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
8、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1中点,则E到平面ABC1D1的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每空5分，共30分）
9、已知，，，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是 .
10、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,AD=4,AB=3,AA1=5, = .
11、△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60°,则AD与平面BCD所成角的余弦值为 .
12、若直线l的方向向量为(4,2,m),平面a的法向量为(2,1,-1),且l⊥a,则m = .
13、已知A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段AB的中点M的坐标为 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
14、(本题满分12分)设空间两个不同的单位向量 与向量的夹角都等于45°.
(1)求和的值; (2)求的大小.

15、(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的
正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PC上的点且CE：CP=1：4,
则在线段AB上是否存在点F使EF//平面PAD?

17、(本题满分14分) 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得.
(1)求a的最大值;
(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;
(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量
及点P到平面SCD的距离.

18、(本题满分14分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证：AM//平面BDE；
(2)求证：AM⊥平面BDF．

19、(本题满分14分)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;②;③;④;⑤;
(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;
(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;
(3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;

20、(本题满分14分)如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,
PB=PD=,点E在PD上,且PE：ED=2：1.
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
(3)棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.

参考答案：
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
C
C
D
B
B

二、 填空题
题号
9
10
11
12
13
14
答案
14

30°

-2

三、 解答题
15、解：（1）依题意，；
(2)∵单位向量 与向量的夹角都等于45°.
∴由 ,
∴
由
∴

16、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b，
则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),
则,
∵E为PC上的点且CE：CP=1：3,
∴
∴由,
设点F的坐标为(x,0,0,) (0≤x≤a),
则,
又平面PAD的一个法向量为,
依题意, ,
∴在线段AB上存在点F,满足条件,点F在线段AB的处.

17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0<x<2)
(1) ∵
∴由得:
即:
∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;
(2) 由(1)知:
∴
∴异面直线AP与SD所成角的大小为
(3) 设是平面SCD的一个法向量,∵
∴由得
∴平面SCD的一个单位法向量
又在方向上的投影为
∴点P到平面SCD的距离为

18、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：
O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),
E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).
(1) ∵
∴,即AM//OE,
又∵平面BDE, 平面BDE,
∴AM//平面BDE;
(2) ∵
∴,
∴AM⊥BD,AM⊥DF, ∴AM⊥平面BDF.
19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)
(1) ∵
∴由PQ⊥QD得

∵
∴在所给数据中,a可取和两个值.
(2) 由(1)知,此时x=1,即Q为BC中点, ∴点Q的坐标为(1,1,0)
从而又为平面ADP的一个法向量,
∴,
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为
(3) 由(1)知,此时,即满足条件的点Q有两个,
其坐标为
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,
∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.
由,得∠Q1AQ2=30°,
∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30°.

20、解：（1）∵PA=AC=a，PB=PD=
∴
∴PA⊥AB且PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC∩BD=O，
∴以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
∵ 点E在PD上,且PE：ED=2：1. ∴，即：
∴ ，即点E的坐标为
又平面DAC的一个法向量为
设平面EAC的一个法向量为，
由，得
∴
∴由图可知二面角E-AC-D的大小为
（3）设在CP上存在点F，满足题设条件，
由，得
∴
依题意，则有
∴
∴点F为PC中点时,满足题设条件.

一.选择题：(10小题共40分)
1.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一
定共面的是 ( )
A. B.
C. D.
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若 ( )
A. B. C. D.
3.若向量、 ( )
A. B. C. D.以上三种情况都可能
4.以下四个命题中,正确的是 ( )
A.若,则P、Ａ、Ｂ三点共线
B.设向量是空间一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底
C.
D.△ABC是直角三角形的充要条件是
5.对空间任意两个向量的充要条件是 ( )
A. B. C. D.
6.已知向量的夹角为 ( )
A.0° B.45° C.90° D.180°
7.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，
则下列向量中与相等的是 ( )
A. B. C. D.-
8.已知 ( )
A. B.5，2 C. D.-5，-2
9.已知 ( )
A.-15 B.-5 C.-3 D.-1
10.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN
所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
二.填空题: (4小题共16分)
11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= .
12.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若
的坐标为 .
13.已知是空间二向量，若的夹角为 .
14.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若为 .
三.解答题:(10+8+12+14=44分)

15.如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小.

16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.

17.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，如图.

(1)求二面角B—SC—D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小.

18.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；
(1)求
(2)求
(3)
(4)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.

高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案
DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.600 14.3
15.(1)略 (2)450 16.450 17.(1) (2)
18.(1) (2) (3) 略 (4)
18.如图，建立空间直角坐标系O—xyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
图
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.

第 14 页 共 14 页