四川省泸县第五中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题-理.doc

四川省泸县第五中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题 理

四川省泸县第五中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题 理

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四川省泸县第五中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题 理（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.
【详解】解：∵,,
∴,
故选：C.
【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
2.若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．
【详解】是纯虚数，则，，
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
3.设向量，，若，则（ ）
A. B. -1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据即可得出，解出即可．
【详解】

．
故选
【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润营业额支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）

A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长；
B. 该超市这五个月利润一直在增长；
C. 该超市这五个月中五月份的利润最高；
D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：
1月份的利润为万元；2月份的利润为万元；
3月份的利润为万元；4月份的利润为万元；
5月份的利润为万元，
所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B．
【点睛】本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5.在中，D在边上，且，E为的中点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，，，从而根据平面向量的线性运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
6.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩，若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知求得，再由，得，再由得答案．
【详解】因为学生成绩服从正态分布，所以，
因为，故
，
所以，
故选D．
【点睛】本题考查正态分布曲线特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7.已知抛物线C：的焦点为F，M为C上一点，若，则（O为坐标原点）的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义求出点M的坐标，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】因为，由抛物线的定义可得，
解得，代入抛物线方程可得
所以点M的坐标为，
所以的面积为，
故选：A.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
8.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则，为异面直线；②若，，，则；
③若，，则；④若，，，则.
则上述命题中真命题的序号为（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面平行的定义可判断①的正误；利用面面垂直的判定定理可判断②的正误；利用面面平行的性质可判断③的正误；利用线面垂直的性质可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于①，若，，则与平行或异面，①错误；
对于②，设，在平面内作，因为，由面面垂直的性质定理知，
又，，，则，因为，，②正确；
对于③，若，，由面面平行的性质可知，③正确；
对于④，若，，则，又，，④错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了空间中线面、面面位置关系的判断，解答时要注意空间中垂直、平行的判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中档题．
9.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位
B. 向右平行移动个单位
C. 向左平行移动个单位
D. 向右平行移动个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
由题将函数可化为，将的图象转换为，再利用三角函数图像的变换求解.
【详解】由题将函数可化为，
将的图象转换为，该图象向右平移个单位，
即可得到的图象．
故选
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
10.已知，，，则a，b，c的大小为　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用幂函数的单调性、对数函数的单调性即可得出．
【详解】因为，，
则的大小为：．故选A．
【点睛】对数或指数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数或指数的运算性质统一底数（或指数）.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.
11.设、分别是椭圆的焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，利用椭圆的定义得出、和，然后利用勾股定理可得出与的等量关系，并利用勾股定理可求出该椭圆的离心率.
【详解】如下图所示：

设，由椭圆定义得，，，
由勾股定理得，可得，
，，
由勾股定理得，即，
整理得，因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目，应熟练掌握圆锥曲线中、、和的关系．
12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数满足，若，则的最小值为（　　）
A -1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值.
【详解】依题意，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中项的系数为_______．
【答案】40
【解析】
【分析】
根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数．
【详解】根据二项定理展开式的通项式得
所以 ，解得
所以系数
【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
14.圆关于直线对称的圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】
圆的圆心坐标为，它关于直线的对称点坐标为，
即所求圆的圆心坐标为，所以所求圆的标准方程为．
15.已知数列满足，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据递推关系式以及等差数列的定义可得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由，则，得，
所以是等差数列，，，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了由递推关系式证明数列为等差数列、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
16.已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，直线，即，
则有，解可得，则直线恒过点．
设，又由与直线垂直，且为垂足，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
所以；即的取值范围是；
故答案为．
【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；
（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；
（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角C；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合，可求，由可求的值．
（2）由已知利用余弦定理、基本不等式可求，即可解得三角形周长的最大值．
【详解】（1）由得．
根据正弦定理，得，化为，
整理得到，因为，
故，又，所以．
(2)由余弦定理有，故，
整理得到，故，
当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为．
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题．
18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫户”.

（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布 列和数学期望；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.
【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.
【解析】
试题分析：（1）处于100以下“”图标共5个，由古典概型可求．（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，，的可能值为0，1，2，3.
写出超几何分布列．（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中．
试题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，
所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为
（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，
的可能值为0，1，2，3.从而
，，
，.
所以的分布列为：

故的数学期望.
（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.
19.如图，在梯形中，，平面平面，四边形是菱形，.

（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理证得，由此根据面面垂直的性质定理证得平面，从而证得,根据菱形的性质证得，由此证得平面，进而证得.（2）取的中点，连接，证得两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得其正切值.
【详解】(1)依题意，在等腰梯形中，，，
∵，∴即，
∵平面平面,平面,
而平面，∴．
连接，∵四边形是菱形，∴，
∴平面, 平面，∴．
(2)取的中点，连接，因为四边形是菱形，且．
所以由平面几何易知，
∵平面平面，∴平面．
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系

各点的坐标依次为：，，，，，．设平面和平面的法向量分别为，，
∵，．
∴由 ，令，则，
同理，求得．
∴，故二面角的平面角的正切值为．
【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量求二面角的三角函数值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20.已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较与的大小．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知设椭圆的方程为，由已知分析得，解得，即得椭圆的方程为.（2）先证明直线的斜率为0或不存在时，.再证明若的斜率存在且不为0时，.
【详解】（1）根据已知设椭圆的方程为，.
在轴上方使成立的点只有一个，
∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.
当点是短轴的端点时，由已知得，
解得.
∴椭圆的方程为.
（2）.
若直线的斜率为0或不存在时，且或且.
由，
得.
若的斜率存在且不为0时，设：，
由得，
设，，则，，
于是 .
同理可得.
∴.
∴.
综上.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
21.已知函数.
（1）若，则当时，讨论的单调性；
（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】
试题分析：
（1）函数的定义域为，且，．分类讨论可得：
当时，在内单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）原问题等价于当时，在区间上的最大值．
且，则.分类讨论和两种情况可得．据此求解关于实数a的不等式可得实数的取值范围是．
试题解析：
（1）函数的定义域为，由得，
所以．
当时，，在内单调递减；
当时，或，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，或，
所以，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意，当时，在区间上的最大值．
当时，，
则.
①当时，，
故在上单调递增，；
②当时，设的两根分别为，
则，所以在上，
故在上单调递增，．
综上，当时，在区间上的最大值，
解得，所以实数的取值范围是．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C.直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的中点为M，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到（为参数）后，消去参数即可得到曲线C的普通方程；
（2）将直线的方程化为参数方程的标准形式并代入到圆的方程，利用参数的几何意义可解得结果.
【详解】（1）将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 然后将所得图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到（为参数），消去参数得圆C的普通方程为.
（2）由得，即，因为，所以，
即直线l的直角坐标方程为：，倾斜角为，点，
设直线l的参数方程为，代入圆C的普通方程并整理得：，
因为，设、两点对应的参数分别为，，则点对应的参数为，
由韦达定理得，，
则.
【点睛】本题考查了图象变换、参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数几何意义，属于基础题.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数.
（Ⅰ）当时，求的解集；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用零点分段去绝对值求解即可；
（Ⅱ）当时，恒成立，即，显然当时，不等式恒成立，当时，讨论和定义域的关系即可.
试题解析：
（Ⅰ）当时，由，可得，
①或②或③
解①求得，解②求得，解③求得，
综上可得不等式的解集为．
（Ⅱ）∵当时，恒成立，即，
当时，；
当时，
若，即时，，，所以;
若，即时，，，所以;
若，即时，时，不等式不成立
综上，．
点晴：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.第二问将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.