重庆市第八中学2019-2020学年高二数学下学期阶段性测试试题.doc

重庆市第八中学2019-2020学年高二数学下学期阶段性测试试题

重庆市第八中学2019-2020学年高二数学下学期阶段性测试试题

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重庆市第八中学2019-2020学年高二数学下学期阶段性测试试题（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数的虚部.
【详解】，因此，复数的虚部为.
故选：B.
【点睛】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
2.某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机数表依次进行选取即可．
【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，
大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12，
则抽取的第5个零件编号为12.
故选：．
【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析．
3.若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由在直线上，可得，由．即可求解．
【详解】解：双曲线的一条渐近线经过点，
点在直线上，
．
则该双曲线的离心率为.
故选：．
【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率以及渐近线方程，属于基础题．
4.函数是上的可导函数，命题既有极大值又有极小值，命题方程至少有两个解，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件
C. 是的充要条件 D. 是的既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用极值点定义和充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若函数既有极大值又有极小值，则方程至少有两个解，；
取，则，则方程的解为和.
当或，则；当时，.
此时，函数只有一个极值点，所以.
因此，是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及可导函数极值点必要条件的应用，考查推理能力，属于中等题.
5.中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地硏学旅行的情况，随机调查了名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有人，到过井冈山研学旅行的人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（ ）人
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出韦恩图，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，根据题意求出的值，由此可得出该学校到过中共一大会址研学旅行的学生人数.
【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，

由题意可得，解的，
因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为.
故选：B.
【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.
6.若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）
A. p＜1 B. p＞1 C. p＜2 D. p＞2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.
【详解】∵设P为抛物线的任意一点，
则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．
∴，即p＞2．
故选：D．
【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.
7.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
8.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）
A. 474种 B. 77种 C. 462种 D. 79种
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下
午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有，那么连着上3节课的情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有-5=474，故答案为A.
考点：排列组合
点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题．
9.若多项式，则（ ）
A. 9 B. 10 C. -9 D. -10
【答案】D
【解析】
，
，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1 故选D.
10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得出，进而可得出，进而可知当直线与抛物线相切时，取最小值，并设直线的方程为，与抛物线方程联立，由求出的值，进一步可得出的最小值.
【详解】如下图所示，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，

由抛物线的定义可知，则，
所以，当最大时，取最小值，此时，直线与抛物线相切，
易知点，设直线的方程为，
联立，可得，则，解得，
，所以，的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题考查抛物线中线段长的比值问题的计算，考查了抛物线定义的应用，解题时要抓住直线与抛物线相切这一位置的分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
11.现安排名同学、、、、参加志愿者服务活动，每人从事接待、后勤保障、服务、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.、不会开车但能从事其他三项工作，、、都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，一是只有一人从事开车工作、二是有两人从事开车工作，将其他人分配另外三项工作，利用分类计数原理可求得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）只有一人从事开车工作，有种选择，然后将其余人分为组，分配给其他三种工作，此时，安排方案数为种；
（2）有两人从事开车工作，有种选择，然后将其余人分配给其他三种工作，此时，安排方案数为种.
综上所述，不同安排方案的种数种.
故选：C.
【点睛】本题考查分组分配问题，涉及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
12.已知、是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出图形，分析出为直角，利用已知条件求出，进而可求得双曲线一条渐近线的倾斜角，由此可求得，再由公式可求得双曲线的离心率.
【详解】如下图所示，由于点是点关于双曲线某条渐近线的对称点，则，
所以，为直角三角形，且为直角，且，
，则，，

，所以，双曲线的渐近线的倾斜角为，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线时，利用公式计算较为简洁，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.将一枚质地均匀且各面分别标有数字、、、的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为和，则点在直线上的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
计算出所有的基本事件数，并列举出事件“点在直线上”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率.
【详解】所有的基本事件数为，事件“点在直线上”所包含的基本事件有：、，共种，
因此，所求事件概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.
14.若满足约束条件，则的最小值为 ___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．
【详解】解：画出，满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；
结合图象知目标函数过时，取得最小值，
由，解得，
所以的最小值为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．
15.已知的展开式中第项为常数项，则该式中所有项系数的和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
写出二项展开式的第项，根据题意求出的值，然后令可求得该式中所有项系数的和.
【详解】的展开式中第项为，
由题意可得，得.
因此，该式中所有项系数的和为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用展开式中常数项求参数，同时也考查了二项式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.
16.若是函数的极值点，则的极大值为__________.
【答案】
【解析】
分析】
根据题意得出，可求得实数的值，然后利用导数可求得函数的极大值.
【详解】，，
由题意可得，解得.
，，令，得或.
列表如下：

极大值

极小值

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用极值点求参数，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；
（2）求得，，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】（1），，，
因此，曲线在点处的切线方程，即；
（2），
，
令，得或，
由于函数在区间上是单调递减函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
18.为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验将只小鼠随机分成、两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图：

根据频率分布直方图估计，事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于”发生的概率.
（1）根据所给的频率分布直方图估计各段频数；
（附：频数分布表）
组实验甲离子残留频数表

组实验乙离子残留频数表

（2）请估计甲离子残留百分比的中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值.
【答案】（1）见解析；（2）甲离子残留百分比的中位数为，乙离子残留百分比的平均值为.
【解析】
【分析】
（1）根据，求出、的值，利用频数、频率和总容量的关系求出每组的频数，填入表格即可；
（2）由甲离子残留百分比直方图中位数左边矩形面积和为可求出中位数，将每个矩形底边中点值与对应的矩形面积相乘，再将所得结果相加即可得出平均数.
【详解】（1）事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于”发生的概率，
，，
，
因此，频数分布表如下表所示：
组实验甲离子残留频数表

组实验甲离子残留频数表

（2）设甲离子残留百分比的中位数为，
，，
，解得.
由频率分布直方图可知，乙离子残留百分比的平均值为.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数、平均数，考查计算能力，属于中等题.
19.已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，为中点，且.
（1）当时，求点的坐标；
（2）当时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入抛物线方程，求得的值，根据向量的坐标运算，即可求得的值；

（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线的方程；
方法二：设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线的方程．
【详解】解：（1）将代入抛物线方程，得，
所以的方程为，焦点，
设，，当时，，可得．
（2）方法一：设，，，，，，
由．可得，，，所以，
所以直线的斜率存在且斜率，
设直线的方程为，联立，消去，
整理得，
△，可得，
则，，，
所以，
解得，（舍，
所以直线的方程为．
方法二：设直线的方程为，
设，，，，，，
联立方程组，消去，
整理得，△，
则，，
则，
则，，由．
得，，，所以，
所以直线的方程为，
由△，可得，
由，得，
所以，
解得或，（舍去）
所以直线的方程为．
【点睛】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题．
20.在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中BS=2，BA=2，BC=λ，λ的可能取值为：①；②；③；④；⑤λ=3

（1）求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.
【答案】（1）（2）λ可以取①②③，见解析（3）30°
【解析】
【分析】
（1）由底面，得即为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，根据得到，再根据的取值范围得到的取值；
（3）利用向量法能求出夹角的余弦值，进而求得二面角的大小．
【详解】（1）因为SB⊥底面ABCD，所以∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角，
在中，
（2）以B为坐标原点，以BC、BA、BS的方向分别为x轴、y轴z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：

B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(λ，2，0)，S(0，0，2).
设，所以，

因为x∈[0，2]， ，所以在所给的数据中，λ可以取①②③
（3）由（2）知，此时，或，即满足条件的点E有两个，
根据题意得，其坐标为和，
因为SB⊥平面ABCD，所以SB⊥BE1， SB⊥BE2，
所以，∠E1BE2是二面角E1−SB−E2的平面角
由
由题意得二面角E1−SB−E2为锐角，
所以二面角E1−SB−E2的大小为30°
【点睛】本题考查线线面角的正弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，记的最小值为，求的解析式.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，求出函数的解析式、定义域和导数，分别解不等式和，可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）求得，然后分、和三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最大值，由此可得出的解析式.
【详解】（1）当时，，定义域为，
.
令，得或；令，得.
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2），，
令，得或.
①当时，对任意的，，
此时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，若，则；若，则.
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以，；
③当时，对任意的，.
此时，函数在区间上单调递减，则.
综上所述，.
【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间，同时也考查了利用导数求解含参函数在区间上的最值，对参数进行分类讨论是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
22.已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于、两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与、重合）.设的外心为，求证为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件得出关于、、的方程组，求出、的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）由题意可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，利用线段和的垂直平分线的交点得出点的坐标，进而得出，再对进行化简即可.
【详解】（1）的面积的最大值为，
由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为零，易知点，
设直线的方程为，设点、，可知点，
联立，消去得，
由韦达定理得，，
由弦长公式得 ，
，，
所以，线段的中点为，
则线段的垂直平分线的方程为，即，
线段的垂直平分线为轴，在直线方程中，令，得.
则点，，
因此，（定值）.
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，解题的关键是由直线与椭圆的方程联立，充分利用弦长公式和两点间的距离公式，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于中等题.