浙江省瑞安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题.doc

浙江省瑞安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题

浙江省瑞安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题

年级：
姓名：

6

浙江省瑞安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题
I.选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.直线的倾斜角为（ 　）
A． B． C． D．
2.用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，下列假设中正确的是（ ）
A．三角形三个内角都不大于 B．三角形三个内角至多有一个大于
C．三角形三个内角都大于 D．三角形三个内角至多有两个大于
3.已知直线和平面，，则“”是“直线上存在不同两点到平面的距离
相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知是虚数单位，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．任意实数
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
6.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知离散型随机变量服从二项分布且则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8.设、为椭圆上关于原点的两个对称点，右焦点为，
若，，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9.现有五名志愿者分配到甲，乙，丙三个不同社区参加志愿者活动，每个社区至少安排一人，则和分配到同一社区的概率为（ ）
A． B． C． D．

10.已知棱长为2的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．

Ⅱ.非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.双曲线的焦距长为 ，其渐近线方程为 ．
12.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积
为 ，表面积为 ．
13.已知 的展开式中各项系数之和为，则 ，展开式中的常数项为 ．
14.若，则实数 ．
15.如图，已知矩形中，，，现
将沿对角线折成二面角，使，
则异面直线和所成角为 ．
16.某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据分析，发现该商品每日的销售量（百件）与销售价格（元/件）满足，现已知该商品的成本价为2元/件，则当时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为 元．
17.某学校报告厅每一排都有12个座位，若有4名学生就坐同一排参加会议，为了预防新冠，若要求4个人不相邻，则不同的就坐方式种数共有 ；若要求同排相邻两人间至少有两个空位，则不同的就坐方式种数共有 ．（用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共7４分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分14分）甲口袋里有大小相同编号不同的2个黑球和3个白球，乙口袋里有大小相同编号不同的3个黑球和2个白球，现从甲口袋中取出3个球，记黑球个数为，从乙口袋中也取出3个球，记黑球个数为.
（I）求时的概率；
（II）若，求随机变量的数学期望及的方差.

19.（本小题满分15分）已知四棱锥中，底面为菱形，侧面是
边长为2的正三角形，，点为边的中点.
（I）求证：平面平面；
（II）
当二面角为时，求直线和平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分15分）设数列的前项之和为，且满足，.
（I）求数列的通项公式；
（II）求证：.

21.（本小题满分15分）已知抛物线上点到坐标原点的距离等于
该点到准线的距离，
（I）求抛物线的标准方程；
（II）若（位于轴上方）为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为
，且满足，过点作，垂足为，设点，
求的取值范围．

22.（本小题满分15分）已知函数
（I）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（II）若求证：，其中为自然对数的底数
（）.

浙江省瑞安中学2020至2021学年第一学期高二期末考试
数学答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
C
B
D
C
A
C
D
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11. 12. 13.3,15
14.6 15. 16.500 17.3024，360
三、解答题：本大题共5小题，共7４分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分14分）解：（1）当时，
则，，
故时的概率
（2）随机变量的取值分别为0、1、2，相应的概率依次为：，
，，
则随机变量的分布列如下表：

0
1
2

则，
可得，又故.
19.（本小题满分15分） 解：（1）
是的中点，为等边三角形，
平面，平面，
平面平面
（2） 平面，平面，为二面角的平面角.
为边长等于2的正三角形 为正三角形
法1：取DP中点H，连结EH，由平面，可知平面，平面，
平面
平面即到面的距离
故直线和平面所成角的正弦值
法2：由解法一可知平面，延长至点，使得，
连接，取中点，连接，则四边形为平行四边形，故平面，故直线和平面所成角为

法3：取DE中点O，连结PO, 为正三角形.
平面平面，平面
在正三角形中，，
设且同向，则以分别为，y，z轴的正方向建立空间
直角坐标系，则
设平面的一个法向量则： 所以,
令则，而,
故直线和平面所成角的正弦值
20.（本小题满分15分）解（1）法1：当时,又，则
由知，当时，
相减得，即，故是等差数列，
则，
法2：由得（），
即，则，故是等差数列，
则，即，可得.
法3：计算前几项猜出通项公式，再利用数学归纳法证明.
证明（2）法1：由于，
则
故

法2：利用数学归纳法证明.
21.（本小题满分15分）解（1）
（2）由题意，设点，则
又因为，则即
设直线的方程为：
联立方程则，，
所以，且，故
直线的方程为：，过定点，
法1：，直线的一个方向向量为，则在上的投影长为
法2：设直线的方程为：
联立方程解得点

法3：利用勾股定理
22.（本小题满分15分）解：（1）
由题意，有两个不相等的实数根，所以
令令所以
所以在上单调递减，上单调递增，所以
(2)法1：由于所以
令
令令所以
所以在单调递减，在单调递增，
所以存在使得所以在上单调递减，
在上单调递增，
另一方面，令
令令所以
所以在单调递减，在单调递增，
所以存在使得即
所以在上单调递减，在上单调递增，

先证明
由于在上单调递增，若
则只需即只需即只需
而所以成立，
所以
所以原不等式成立.
法2：由于由（1）可知在上单调递减，上单
调递增，，存在使得
当时，，为减函数
当时，，为减函数
为极小值也为最小值
故只需要证明
而

令（后面的做法和方法1相同）