2021-2022学年高中数学-第2章-常用逻辑用语章末综合测评苏教版必修第一册.doc

2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语章末综合测评苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语章末综合测评苏教版必修第一册

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章末综合测评(二)　常用逻辑用语
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是(　　)
A．∃x>0，使得x2－x≤0 B．∃x>0，使得x2－x>0
C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0
B　[全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是∃x>0，使得x2－x>0.故选B.]
2．已知p：A＝∅，q：A∩B＝∅，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[由已知A＝∅⇒A∩B＝∅，反之不成立，得p是q的充分不必要条件，所以选A.]
3．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　)
A．对任意x∈R，都有x2<1
B．不存在x∈R，使得x2<1
C．存在x∈R，使得x2≥1
D．存在x∈R，使得x2<1
D　[因为全称量词的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1.]
4．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．∃x∈R，x3－x2＋1<0
B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0
C．∀x∈R，x3－x2＋1>0
D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0
C　[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.]
5. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
B　[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]
6．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
C　[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C.]
7．已知非空集合M、P，则M⃘P的充要条件是(　　)
A．∀x∈M，x∉P
B．∀x∈P，x∈M
C．∃x1∈M，x1∈P，且x2∈M，x2∈P
D．∃x∈M，x∉P
D　[由M⃘P，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，M⃘P的充要条件是∃x∈M，x∉P.]
8．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是(　　)

　A　　　　B　　　　C　 　　D
C　[由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．a2＞b2的一个充分条件是(　　)
A．a＞|b| B．a＜b
C．a＝b D．a<b<0
AD　[A中，当a＞|b|时，能推出|a|＞|b|⇔a2＞b2，所以A正确；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a<b<0，能推出|a|＞|b|⇔a2＞b2，故选AD.]
10．下列命题中，假命题是(　　)
A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1
B．∀x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．∃x∈R，x2＋2≤0
BCD　[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选BCD.]
11．若“x<a”是“x>3或x<－2”的充分不必要条件，则实数a的可能值为
(　　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
CD　[设A＝{x|x<a}，B＝{x|x>3或x<－2}．由题意知AB，所以a≤－2，所以a的最大值为－2.]
12．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有(　　)
A．∃x0∈R，x－x0＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x0∈R，x＋2x0＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
AC　[由于是命题的否定，所以特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题．
对于A：∃x0∈R，x－x0＋<0为特称命题，否定为“对∀x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立”且为真命题．
对于B为全称命题，且为真命题，故否定错误．
对于C：“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝0”为特称命题，否定为“对∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≠0恒成立”且为真命题．
对于D：为特称命题，为真命题，故否定错误．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
14．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
{a|a≤1}　[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1.]
15．若x>2m－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
(－∞，1]　[∵x>2m－3是－1<x<4的必要不充分条件．
∴(－1,4)(2m－3，＋∞)，∴2m－3≤－1.
解得m≤1.]
16．设p：实数x满足|x－2a|<a，q：实数x满足|x－3|<1.若a＝1，且p和q均为真命题，则实数x的取值范围是________；若a>0且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)
(2,3)　　[由|x－2a|<a，当a＝1时，|x－2|<1，－1<x－2<1，所以1<x<3.即p为真时，实数x的取值范围是(1,3)．由|x－3|<1得－1<x－3<1，解得2<x<4，即q为真时，实数x的取值范围是(2,4)，故当a＝1，p和q均为真命题时，实数x的取值范围是(2,3)．
由|x－2a|<a，又a>0，得－a<x－2a<a，所以a<x<3a.
若p是q的充分不必要条件，
则p⇒q，且qp，所以q⇒p，且pq，即q是p的充分不必要条件．
设A＝{x|p}，B＝{x|q}，则BA，
又A＝{x|p}＝{x|a<x<3a}，B＝{x|q}＝{x|2<x<4}，所以3a≥4且a≤2，解得≤a≤2，
∴实数a的取值范围是.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.
[解]　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；
又由于“任意”的否定为“存在一个”，
因此，p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，p：对任意一个x∈R，都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．(本小题满分12分)已知命题p：x∈[1,3]，命题q：x∈{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解]　根据题意，p是q的必要不充分条件，
{x|a≤x≤a＋1}⊆[1,3]，则a≥1且a＋1≤3，得1≤a≤2.
当a＝1时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意；
当a＝2时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意．
所以，实数a的取值范围是1≤a≤2.
19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0；
(2)p：所有的一次函数都是单调函数；
(3)p：有的三角形是等边三角形；
(4)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(5)p：有一个素数含三个正因数．
[解]　(1) p：任意x∈R，x2－x＋1>0.真命题．
(2) p：有些一次函数不是单调函数．假命题．
(3) p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．
(4) p：存在x0∈Z，使x的个位数字等于3.假命题．
(5) p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．
20．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．
(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；
(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B.
[解]　(1)因为a，b∈R，a＋b＞0，
所以a，b至少有一个大于0，所以pq.
反之，若ab＞0，可推出a，b同号．
但推不出a＋b＞0，即qp.
综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
(2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q.
而当A∪B＝B时，A⊆B，即qp，
所以p为q的充分不必要条件．
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
[解]　(1)∵x∈A是x∈B的充分条件，
∴A⊆B.
∴
解得a的取值范围为≤a≤2.
(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅，
∴a＞0.
若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，
所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4.
22．(本小题满分12分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解]　(1)当a＝0时显然符合题意．
(2)当a≠0时显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0.
若方程有两个负的实根，则必须有
解得0<a≤1.
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1，反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件为a≤1.