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2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程章末综合提升学案 新人教A版选择性必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程章末综合提升学案 新人教A版选择性必修第一册

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第2章 直线和圆的方程

类型1　求直线的方程
求直线方程时，一是根据题目条件确定点和斜率或者确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；
二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含有参数或待定系数)，再确定方程(即求出参数值)，此时求直线方程的方法可称为间接法(即为待定系数法)，这是最常见的方法．
【例1】　已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)AC所在的直线的方程；
(2)点B的坐标．
[解]　(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.
把A(5,1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.
(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为.
联立得方程组
化简得解得故B(－1，－3)．
[跟进训练]
1．已知△ABC中，A(1,3)，AB，AC边上中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.
[解]　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(xB,1)．
∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)，
∴点D的坐标为.
∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5.
∴点B的坐标为(5,1)．
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
∴设点C的坐标为(2t－1，t)．
∴AC的中点E的坐标为.
∵点E在中线BE：y＝1上，
∴＝1，∴t＝－1.
∴点C的坐标为(－3，－1)，
∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，
BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
类型2　两条直线的位置关系
(1)两条直线的位置关系如下表所示．
项目
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
或
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋n＝0.
【例2】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解]　(1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，
即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
因此或
[跟进训练]
2．(1)“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：mx＋4y－2＝0与l2：2x－5y＋n＝0互相垂直，共垂足为(1，p)，则m＋p＝________，n＝________.
(1)A　(2)8　－12　[(1)当a＝1时，直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为，两直线垂直；当两直线垂直时，可得a(2a＋1)－3a＝0，解得a＝0或1，所以“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要条件．故选A．
(2)∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，∴×＝－1∴m＝10.
直线mx＋4y－2＝0即5x＋2y－1＝0，
垂足为(1，p)代入得5＋2p－1＝0，
∴p＝－2，∴m＋p＝8，
把(1，－2)代入2x－5y＋n＝0可得n＝－12.]
类型3　距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
类型
已知条件
公式
两点间的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
|AB|＝
点到直线的距离
P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
d＝(A2＋B2≠0)
两平行直线的距离
l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)
d＝
【例3】　直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
[解]　当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.
解得k＝±－6，
∴y＝x.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
[跟进训练]
3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
[解]　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0, 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.
类型4　对称问题
(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键．
(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．
(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．
【例4】　光线通过点A(2, 3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解]　设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解之得，A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.
解方程组得反射点P.
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0,4x－5y＋1＝0.

1．在本例条件不变的情况下，求光线从A经反射后到达B点所经过的路程．
[解]　由本例解析知，点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(－4，－3)．所以从A发出光线经l反射后到达B的路程为|A′B|.
即|A′B|＝＝.
2．把本例条件中“直线l：x＋y＋1＝0”改为“直线l为x轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解]　点A(2,3)关于x轴对称点为A′(2，－3)．
∴反射光线方程为＝，即4x＋y－5＝0.
又∵反射光线与x轴交点为.
∴入射光线方程为＝，
即4x－y－5＝0.
类型5　求圆的方程
求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
【例5】　一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程．
[解]　由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1,0)，半径为1.
∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，
可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.
设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，
则
解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
[跟进训练]
4．已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．
[解]　(1)由解得两直线交点为(2,1)，
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l过点(2,1)，
∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.
(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y 2＝r2(a>0)，则解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
类型6　直线与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．
【例6】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
[跟进训练]
5．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
[解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4, －3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)如图，当圆心C(3, －6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．

此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－.
在△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，
所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，
所以|AP|＝，所以|AB|＝2，
即最短弦长为2.
类型7　圆与圆的位置关系
判断两圆位置关系的两种方法比较：
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
【例7】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解]　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝.
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
[跟进训练]
6.在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D．若AB＝，求CD的长．

[解]　因为AB＝，圆O半径为2，
所以点O到直线AB的距离为，显然AB，CD都不平行于坐标轴．
可知AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.
则点O到直线AB的距离d＝＝，解得k＝±.
因为AB⊥CD，所以kCD＝－，
所以CD：y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0.
点M(2,1)到直线CD的距离d′＝＝，
所以CD＝2＝2＝.

1．(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
B　[将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1,2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D．易知当直线l⊥AC(图略)时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝＝2，所以|BD|min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A． B．
C． D．
B　[因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
B　[记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
A　[圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]
5．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
2　[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]