必修四-向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇.doc

(完整word)必修四 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直;
(3)内心—-角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4）外心—-中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）是的重心。
证法1：设
是的重心。
证法2：如图

三点共线,且分
为2:1
是的重心

(2）为的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

同理,
为的垂心

（3）设，,是三角形的三条边长，O是ABC的内心
为的内心。
证明：分别为方向上的单位向量,
平分,
），令
（）
化简得

(4)为的外心。

典型例题：
例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示，分别为边的中点。

//
点的轨迹一定通过的重心,即选.

例2：（03全国理4)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足, ，则点的轨迹一定通过的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：分别为方向上的单位向量，
平分，
点的轨迹一定通过的内心，即选.

例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC, D、E是垂足.

=
=
=+=0
点的轨迹一定通过的垂心，即选。

练习：
1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为( ）
A．2 B． C．3 D．6
2．若的外接圆的圆心为O,半径为1,，则( ）
A． B．0 C．1 D．
3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）
A．0 B． C． D．
4．的外接圆的圆心为O,若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，若
，则是的( ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H，,
则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量与满足（+）·=0且·= , 则△ABC为（ )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知三个顶点，若，则为( ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C