必修四-向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇.doc

(完整word)必修四 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1)重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直;(3)内心-角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4）外心-中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心。证法1：设 是的重心。证法2：如图三点共线,且分为2:1是的重心(2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理,为的垂心（3）设，,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心。证明：分别为方向上的单位向量,平分,），令（）化简得(4)为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ )A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示，分别为边的中点。/点的轨迹一定通过的重心,即选.例2：（03全国理4)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足, ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分，点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC, D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选。练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为( ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O,半径为1,，则( ）A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O,若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，若，则是的( ）A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H，,则实数m = 7（06陕西）已知非零向量与满足（+）=0且= , 则ABC为（ )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为( ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C