《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.pdf

1一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设事件仅发生一个的概率为 0.3，且，则至少有一个不发BA,5.0)()(BPAPBA,生的概率为_.答案：0.3解：3.0)(BABAP即)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以 1.0)(ABP .9.0)(1)()(ABPABPBAP2 设随机变量服从泊松分布，且，则_.X)2(4)1(XPXP)3(XP答案：161e 解答：eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2 由 知 eee22)2(4)1(XPXP 即 0122 解得 ，故1 161)3(eXP3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率X)2,0(2XY)4,0(密度为_.)(yfY答案：1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则Y(),YFyX()XFx()Xfx 2()()()()()()YXXFyP YyP XyPyXyFyFy 因为，所以，即(0,2)XU()0XFy()()YXFyFy 故21,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它 另解 在上函数严格单调，反函数为(0,2)2yx()h yy所以1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，则YX,2)1(eXP_，=_.1),min(YXP答案：，2-4min(,)11 ePX Y 解答：，故 2(1)1(1)P XP Xee 2 min(,)11min(,)1PX YPX Y 1(1)(1)P XP Y .41 e 5 设总体的概率密度为X .其它,0,10,)1()(xxxf1是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_.nXXX,21X答案：1111lnniixn 解答：似然函数为 111(,;)(1)(1)(,)nnniniL xxxxx 1lnln(1)lnniiLnx 1lnln01niidLnxd 解似然方程得的极大似然估计为3 .1111lnniixn二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是,A B C,A B （A）若，则与也独立.()1P C ACBC （B）若，则与也独立.()1P C ACB （C）若，则与也独立.()0P C ACB （D）若，则与也独立.（）CBAC答案：（D）.解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图 可见 A 与 C 不独立.2设随机变量的分布函数为，则的值为(0,1),XNX()x(|2)PX （A）.（B）.21(2)2(2)1 （C）.（D）.（）2(2)1 2(2)答案：（A）解答：所以(0,1)XN(|2)1(|2)1(22)PXPXPX 应选（A）.1(2)(2)1 2(2)121(2)3设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是XY （A）与独立.（B）.XY()D XYDXDY （C）.（D）.（）()D XYDXDY()D XYDXDYSABC4 答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，0yxcov0 xy），（()+2cov xyD XYDXDY（，）应选（B）.4设离散型随机变量和的联合概率分布为XY (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X YP 若独立，则的值为,X Y,（A）.（A）.21,9912,99 （C）（D）.（）11,6651,18185 答案：（A）解答：若独立则有,X Y (2,2)(2)(2)P XYP XP Y 112 1()()()393 9 ，2919 故应选（A）.5设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中X12,nXXXX 正确的是 （A）是的无偏估计量.（B）是的极大似然估计量.1X1X （C）是的相合（一致）估计量.（D）不是的估计量.（）1X1X 答案：（A）解答：，所以是的无偏估计，应选（A）.1EX1X三、（7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设任取一产品，经检验认为是合格品A 任取一产品确是合格品B 则（1）()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 0.9 0.950.1 0.020.857.（2）.()0.9 0.95(|)0.9977()0.857P ABP B AP A四、（12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5.设为途中遇到红灯的次数，X 求的分布列、分布函数、数学期望和方差.X12311111691831123311129186 解：的概率分布为X 3323()()()0,1,2,3.55kkkP XkCk 即 01232754368125125125125XP 的分布函数为X 0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxF xxxx 263,55EX .231835525DX 五、（10 分）设二维随机变量在区域 上服从(,)X Y(,)|0,0,1Dx yxyxy均匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概(,)X YXZXY率密度.解：（1）的概率密度为(,)X Y 2,(,)(,)0,.x yDf x y其它 22,01()(,)0,Xxxfxf x y dy其它 （2）利用公式()(,)Zfzf xzx dx 其中2,01,01(,)0,xzxxf x zx 其它2,01,1.0,xxz其它.当 或时0z 1z()0Zfz 时 01z00()222zzZfzdxxzxzz=x1D01zxyx+y=1x+y=zD17 故的概率密度为Z 2,01,()0,Zzzfz其它.的分布函数为Z 200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfy dyydyzzzzz 或利用分布函数法 10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzP ZzP XYzdxdyzz 20,0,01,1,1.zzzz 2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、（10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相XY互独立，且均服从分布.求（1）命中环形区域2(0,2)N22(,)|12Dx yxy的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.22ZXY 解：（1）,)(,)DP X YDf x y dxdy 22222880111248xyrDedxdyerdrd ；2221122888211()8rrredeee （2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy 2222880001184rrrerdrder drxy0128 .2228880021222rrrreedredr 七、（11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为 16 的2(,)XN 样本，测得样本均值，样本方差.（1）求的置信度为 0.95 的置信10 x 20.16s 区间；（2）检验假设（显著性水平为 0.05）.20:0.1H （附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt 2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.解：（1）的置信度为下的置信区间为1 /2/2(1),(1)ssXtnXtnnn 0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt所以的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为.20:0.1H22(1)n ，221515 1.6240.1S20.05(15)24.996 因为 ，所以接受.220.052424.996(15)0H概率论与数理统计期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)1D 2A 3B 4A 5A 6B题 号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得 分9一、单项选择题一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)（1）.0)(,0)(;0)(0)();().,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量 X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 则（）。5.1XP(A)0.6 (B)1 (C)0 (D)21（3）设事件与同时发生必导致事件发生，则下列结论正确的是（）1A2AA（A）（B）)()(21AAPAP1)()()(21APAPAP（C）（D）)()(21AAPAP1)()()(21APAPAP（4）).54,0);46,0();3,0();5,0(,72,),1,2(),1,3(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(10（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中nXXX,2,1),(2N,2未知，则（）是一个统计量。(A)(B)212niiX21)(niiX(C)(D)XX（6）设样本来自总体未知。统计假设nXXX,2122),(NX为 则所用统计量为（）。：已知）（：01000HH(A)(B)nXU0nSXT0(C)(D)222)1(Sn niiX1222)(1二、填空题二、填空题(每空 3 分 共 15 分)（1）如果，则 .)()(,0)(,0)(APBAPBPAP)(ABP（2）设随机变量的分布函数为X.0,)1(1,0,0)(xexxxFx则的密度函数 ，.X)(xf)2(XP（3）.,_,32,321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设aa（4）设总体和相互独立,且都服从，是来自总体的XY)1,0(N921,XXXX样本，是来自总体的样本，则统计量 921,YYYY292191YYXXU服从 分布（要求给出自由度）。11二、填空题二、填空题(每空 3 分 共 15 分)1.2.,3.4.)(BP000)(xxxexfx23e1)9(t三三、(6分)设 相互独立，求.BA,7.0)(AP88.0)(BAP)(BAP解：0.88=)()()()(ABPBPAPBAP =(因为相互独立).2 分)()()()(BPAPBPAPBA,=3 分)(7.0)(7.0BPBP 则 .4 分 6.0)(BP)()()()()()(BPAPAPABPAPBAP 6 分28.06.07.07.0四、四、（6 分）某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T，各电梯在运行的概率均为 0.7，求在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率。解：用表示时刻运行的电梯数，则 .2 分XTX)7.0,4(b所求概率 4 分011XPXP =0.9919 .6 分 4004)7.01()7.0(1C五、五、（6 分）设随机变量 X 的概率密度为 ，其它,00,)(xexfx求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分12 xy 当时，.2 分0X1Y由，得 4 分12 xy21,21xyx从而的密度函数为.5 分Y10121)21()(yyyfyfY12=.6 分1012121yyey 13五、五、（6 分）设随机变量 X 的概率密度为 ，其它,00,)(xexfx求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分12 xy 当时，.2 分0X1Y由，得 4 分12 xy21,21xyx从而的密度函数为.5 分Y10121)21()(yyyfyfY=.6 分1012121yyey六、六、（8 分）已知随机变量和的概率分布为XY X101Y10 P412141P2121而且.10XYP(1)求随机变量和的联合分布;XY(2)判断与是否相互独立?XY解：因为，所以10 XYP00 XYP(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出Y X-1 0 1014100214102121 41214114 .4 分(2)因为 4121210000,0YPXPYXP所以 与不相互独立XY 8 分七、七、（8 分）设二维随机变量的联合密度函数为),(YX.,0,0,0,12),()43(其他yxeyxfyx求：（1）；（2）求的边缘密度。)20,10(YXPX解：（1）.2 分 1020)43(12)20,10(dyedxYXPyx =20410343dyedxeyx 204103yxee =.4 分31e1 8e（2）.6 分dyexfyxX)43(12)(.8 分00033xxex八、八、（6 分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。X41工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。解：因为 得 .2 分)41(eX00041)(41xxexfx用表示出售一台设备的净盈利Y 3 分103001001100XXY15则 414141)100(edxeYPx .4 分41410141200edxeYPx所以 )1()200(1004141eeEY（元）.6 分20030041e64.33九、九、（8 分）设随机变量与的数学期望分别为和 2，方差分别为 1 和 4，XY2而相关系数为，求。5.0)2(),2(YXDYXE解：已知5.0,4,1,2,2XYDYDXEYEX则 .4 分62)2(22)2(EYEXYXE .5 分),2cov(2)2()2(YXDYXDYXD .6 分),cov(42YXDYDX=12 .8 分XYDYDXDYDX42十、十、（7 分）设供电站供应某地区 1 000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0，20上的均匀分布，利用中心极限定理求这 1 000 户居民每日用电量超过 10 100 度的概率。（所求概率用标准正态分布函数的值表示）.)(x解：用表示第 户居民的用电量，则iXi20,0UXi 2 分102200iEX310012)020(2iDX则 1000 户居民的用电量为，由独立同分布中心极限定理10001iiXX 3 分10100110100XPXP16=4 分3100100010100010100310010001010001XP .6 分)3100100010100010100(1=7 分1)103(十一、十一、（7 分）设是取自总体的一组样本值，的密度函数为nxxx,21XX,0,10,)1()(其他xxxf其中未知，求的最大似然估计。0解:最大似然函数为 .2 分iniininxxfxxL)1()(),(111=.3 分),()1(1nnxx 则),ln()1ln(),(ln11nnxxnxxL .4 分1,01nxx 令 .5 分0),ln(1ln1nxxndLd于是的最大似然估计：。.7 分),ln(ln11nxxn十二、十二、（5 分）某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为)1,(NX，长期以来方差 稳定为 1，现随机抽取的 100 天的利润，样本均值为2，试 求的 置 信 水 平 为 95%的 置 信 区 间。（5x,99.1)100(05.0t）975.0)96.1(17 解：因为已知，且 1 分)1,0(NnX故 2 分12UnXP依题意 5,1,100,96.1,05.02xnU则的置信水平为 95%的置信区间为 4 分,22nUxnUx即为 4.801,5.199 5 分18概率论与数理统计课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：题 号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得 分一、单项选择题一、单项选择题(每题 3 分 共 15 分)（1）.0)(,0)(;0)(0)();().,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）kbkP(2)(A)b且0(B)且0(C)b11且 0 1 b1;.;,XX（3）连续随机变量 X 的概率密度为 其它,021,210,)(xxxxxf则随机变量 X 落在区间(0.4,1.2)内的概率为().(A)0.64;(B)0.6;(C)0.5;(D)0.42.（4）).54,0);46,0();3,0();5,0(,72,),1,2(),1,3(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(19（5）设),(21是参数的置信度为1的区间估计,则以下结论正确的是().(A)参数落在区间),(21之内的概率为1;(B)参数落在区间之外的概率为;(C)区间),(21包含参数的概率为1;(D)对不同的样本观测值,区间),(21的长度相同.),(21二、填空题二、填空题(每空 2 分 共 12 分)（1）._,_,),(,),).(1,0(,2921919191参数为分布服从则统计量一个样本是从总体中抽取的一个样本是从总体且都服从正态分布相互独立与设总体YYXXUYYYXXXNYX中抽取的（2）.,_,32,321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设aa（3）设总体)1,(NX,是未知参数,21,XX是样本,则2113132XX及2122121XX都是的无偏估计,但_有效.（4）设样本),(21nXXX抽自总体22,).,(NX均未知.要对作假设检验,统计假设为,:00H(0已知),:01H则要用检验统计量为_,给定显著水平,则检验的拒绝区间为_.20三、三、(7 分)已知，条件概率.6.0)(,5.0)(BPAP).(.8,0)(ABPABP试求四、四、(9 分).设随机变量的分布函数为，XxxBAxF,arctan)(求:（1）常数,；（2）；（3）随机变量的密度函数。A B)1(XPX21五、五、(6 分)某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第 1 车间的次品率为 0.15，第 2 车间的次品率为 0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设 1、2 车间生产的成品比例为 2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率.六、六、(8 分)已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数.)(xF22七、七、(7 分)设随机变量的密度函数为X其它,00,)(xexfx求随机变量的函数 的密度函数。xeY)(yfY八、八、(6 分)现有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3 m，现从钢材中随机取出 100 根，试用中心极限定理求小于 3 m 的钢材不超过 30 的概率。(计算结果用标准正态分布函数值表示)23九、九、(10 分)设二维随机变量的联合密度函数为),(YX.,0,0,0,12),()43(其他yxeyxfyx求：（1）；（2）求,的边缘密度;（3）判断与)20,10(YXPXYXY是否相互独立24十、十、(8 分)设随机变量（）的联合密度函数为YX,其他,0,10,12),(2xyyyxf求,进一步判别与是否不相关。)(),(),(XYEYEXEXY25十一、十一、(7 分).设是来自总体的一个简单随机样本，总体的密度函数nXXX,21XX为,0,0,2),(2其他xxxf求的矩估计量。十二、十二、（5 5 分）总体测得样本容量为 100 的样本均值，求的)1,(NX5_XX数 学 期 望的 置 信 度 等 于 0.95 的 置 信 区 间。（,99.1)100(05.0t)975.0)96.1(26一、单项选择题：（15 分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（12 分）1、;9,t2、-13、更24、，;/XSn)1(,)1(2/2/nSntXnSntX三、（7 分）解：分分7.4.08.05.04.).|()()(ABPAPABP四、（9 分）解：（1）由 2)(1BAF.1分 2)(0BAF.2分得 1,21BA.3分 xxFarctan121)(.4分（2）21)1()1()(FFXP.6分（3）)()1(1)()(2xxxFxf.9分五、（6 分）27分车间生产提出的一台是第是合格品从仓库随机提出的一台解：2.53)(,52)()2,1(21APAPiiABi121122(|)1 0.150.85,(|)1 0.120.88.3()()(|)()(|).5230.850.88 0.868.55P B AP B AP BP A P B AP A P B A 分则分.6分六、（8 分）解：设用表示乙箱中次品件数，则的分布律为XX 201)3(209)2(209)1(201)0(360333361323362313363303CCCXPCCCXPCCCXPCCCXP.4分的分布函数为X)(xF xxxxxxF3322110012019212010)(.8分七、（7 分）解:28分分的密度函数为则分时，当时，当分的分布函数为可能取值范围为7.10116.1011101)(ln)(5.).(ln)ln()(10)(13.).()()(),1 2.lnyyyyyyeyyyFyfYyFyXPyFyyFyyePyYPyFYeYyXYXYYXYX八、（6 分）解:1003(100,0.2).2()100 0.220()100 0.2 0.8 16.3203020(30)().51616(2XmXBE XD XXP XP 设为根钢材小于的钢材根数则分，分由中心极限定理：分.5)0.9938.6.分九、（10 分）解：（1）=)20,10(YXPdyedxyx20)43(1012.2分 =)1)(1(83ee.3分（2）关于的边缘分布：X ydyxfxfX),()(.4分 29 =00033xxex.6分同理关于的边缘分布：Y =xdyxfyfY),()(00044yyey.8分（3）因为 )()(),(yfxfyxfYX),(yx所以与相互独立。XY.10分十、（8 分）解：5412),()(2100 dxdyyxdxdyyxfxXEx.2分 5312),()(2100 dxdyyydxdyyxfyYEx.4分 2112),()(2100 dxdyyxydxdyyxfxyXYEx.6分因为，所以与是相关的。)()()(YEXEXYEXY.8分十一、（7 分）解：分的矩估计为分令分7.235.1)(3.32|3.22),()(1103202niiniiXnXnXExdxxxdxxxfXE十二、（5 分）30解：分），（所求区间为分，其中分（分的置信区间为的置信度为，所以因为5.196.5804.44.510096.1025.0205.03.).,1.05.0195.012/2/2/XnunuXnuX共 8 页第 8 页