概率论与数理统计期末考试试卷答案分享.doc

《概率论与数理统计》试卷A
（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）
（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）
一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)
1、A，B为二事件，则
A、 B、 C、 D、
2、设A，B，C表示三个事件，则表示
A、A，B，C中有一个发生
B、A，B，C中恰有两个发生
C、A，B，C中不多于一个发生 D、A，B，C都不发生
3、A、B为两事件，若，，，
则成立
A、 B、
C、 D、
4、设A，B为任二事件，则
A、 B、
C、 D、
5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是
A、与独立 B、与独立
C、 D、与一定互斥
6、设离散型随机变量的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2

其分布函数为，则

A、0 B、0.3 C、0.8 D、1
7、设离散型随机变量的密度函数为 ，则常数
A、 B、 C、4 D、5

8、设～，密度函数，则的最大值是
A、0 B、1 C、 D、
9、设随机变量可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为，则下式成立的是
A、 B、
C、 D、
10、设服从二项分布B(n,p),则有
A、 B、
C、 D、
11、独立随机变量，若X～N(1,4)，Y～N(3,16)，下式中不成立的是
A、 B、 C、 D、
X
1
2
3
p
1/2
c
1/4
12、设随机变量的分布列为：
则常数c=
A、0 B、1 C、 D、
13、设～,又常数c满足,则c等于
A、1 B、0 C、 D、-1
14、已知,则=
A、9 B、6 C、30 D、36
15、当服从( )分布时,。
A、指数 B、泊松 C、正态 D、均匀
16、下列结论中，不是随机变量与不相关的充要条件。
A、 B、
C、 D、与相互独立
17、设～且，则有

A、 B、
C、 D、
18、设分别是二维随机变量的联合密度函数及边缘密度函数，则是与独立的充要条件。
A、 B、
C、与不相关 D、对有
19、设是二维离散型随机变量，则与独立的充要条件是
A、 B、 C、与不相关
D、对的任何可能取值
20、设的联合密度为，
若为分布函数，则
A、0 B、 C、 D、1

二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)
1、 若事件 A与B相互独立， 。求：和

2、 设随机变量，且。求

3、 已知连续型随机变量的分布函数为，求和。

4、 设连续型随机变量的分布函数为
求： （1）常数A和B；
（2）落入（-1，1）的概率；
（3）的密度函数

5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，
否则一直独立射到子弹用尽。
求：（1）耗用子弹数的分布列；（2）；（3）

6、设的联合密度为，
求：（1）边际密度函数；（2）；(3）与是否独立

三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
1、 设，是来自正态总体的样本，下列
三个估计量是不是参数 的无偏估计量，若是无偏
估计量，试判断哪一个较优？

，，。

2、设 。为 的一组观察值，求的极大似然估计。

概率论与数理统计试卷答案及评分标准

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
D
D
D
D
C
A
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
C
C
B
B
B
D
C
D
D
B

二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

1、 解：∵A与B相互独立
∴………（1分）
………（1分）

………（1分）
又………（1分）
………（2分）
………（1分）

2、 解： ………（5分）
………（2分）

3、解：由已知有 ………（3分）
则： ………（2分）
………（2分）

4、解：(1)由，
有：

解之有：， ………（3分）

(2) ………（2分）
(3) ………（2分）
X
1
2
3
P
2/3
2/9
1/9
5、解：(1)
………（3分）

(2) ………（2分）
(3) ∵
∴………（2分）
6、解：(1) ∵
∴
同理： ………（3分）
(2)
同理： ………（2分）
(3) ∵
∴与独立 ………（2分）

三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
1、 解：∵
同理：
∴为参数 的无偏估计量………（3分）
又∵

同理：，
且
∴较优 ………（6分）
2、 解：的似然函数为：
………（3分）

解之有： ………（6分）

一、(共30分,每题5分)
1、设事件A与B相互独立，,
求.
解：因为事件A与B相互独立，所以
=0.2 …….2分
由，得 …….2分
…….1分

2、三人独立地去破译一份密码，他们译出的概率分别为.求能将此密码译出的概率.
解： …….5分

3、设随机变量的分布律为

-1
0
1
2

0.125
0.25
0.25
0.375
求的分布律，并计算.

1
2
5

0.25
0.375
0.375
解：

……….3分
……….2分

4、设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知求.
解：， …….2分
…….2分
所以，得. …….1分
5、为检查某食用动物含某种重金属的水平，假设重金属的水平服从正态分布均未知，现抽取容量为25的一个样本，测得样本均值为186，样本标准差为10，求的置信度为0.95 的置信区间.
解：总体均值 m 的置信度为0.95 的置信区间为
……….2分
即 …….2分
所求置信区间为（181.8722，190.1278） …….1分
6、某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖重量当机器正常时，其均值公斤，标准差公斤.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得平均重量为0.511公斤，问这天包装机工作是否正常？（取显著水平）
解：由题意设 ……….1分
拒绝域为 ……….1分
由于 ， ……….2分
即2.2>1.96,拒绝原假设，认为这天包装机工作不正常. ……….1分

概率论与数理统计B 班级 姓名 学号 第 2 页
二、（共18分,每题6分)
1、设随机变量和相互独立，概率密度分别为

求: （1）（2）（3）.
解：（1）….2分
（2） ….2分
（3）因为量和相互独立，所以. ….2分

2、已知随机变量，，
求： 与的协方差.
解：
….3分

….3分

3、设是来自正态总体的一个样本，且已知随机变量服从自由度为2的分布，
求的值.
解：因为且相互独立，.
所以，，， ….2分
，，且相互独立. ….2分
由分布的定义，得 ，
所以，. ….2分

三、（共18分,每题6分)
1、设总体现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值落入（50.8，53.8）之间的概率.
解：， ……….2分
=
= ….3分
……….1分
2、设随机变量的分布函数为
求：（1）A , B的值；（2）.
解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得
，，
即 解得 ……….3分
（2） ……….3分

概率论与数理统计B试题 班级 姓名 学号 第 3 页
3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率.
解：设={从箱子中取到i号袋}，
B={抽出的是红球}
……….2分
……….1分
……….3分
四、（8分） 设随机变量具有密度函数
求（1）常数A；（2）X的分布函数.
（1）因为 ……….2分

所以 得 ……….2分

（2）

= ……….4分

五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为
60、30、10件，现从中随机抽取一件，记
求的联合分布律.
解：设分别表示抽到一、二、三等品，
，
，
的联合分布律为
X2
X1
0 1
0
1
0.1 0.3
0.6 0.0
……….8分（每个2分）
六、（10分）设随机变量和的联合概率密度为

（1） 求边缘概率密度；（2）判断随机变量和是否独立.
解：（1） ……….1分
……….2分
……….1分
……….2分
（2） 因为，所以随机变量和不独立.
…..….4分
七、（8分）设是总体的一个样本，为一相对应的样本观测值，总体的概率密度为

求参数的矩估计和极大似然估计.
解：（1）矩估计 ， …….2分
由得 …….2分
（2）似然函数
对数似然函数 …….2分
令，得
参数的极大似然估计量为 …….2分

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