《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.doc

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.
答案：0.3
解：

即

所以

.

2． 设随机变量服从泊松分布，且，则______.
答案：

解答：

由 知
即 解得 ，故

3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.
答案：

解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则

因为，所以，即
故

另解 在上函数严格单调，反函数为
所以

4． 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________.
答案：，
解答：
，故

.

5． 设总体的概率密度为
.
是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.
答案：

解答：
似然函数为

解似然方程得的极大似然估计为

.

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是
（A）若，则与也独立.
（B）若，则与也独立.
（C）若，则与也独立.
（D）若，则与也独立. （ ）

答案：（D）.
解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.
S
A
B
C
事实上由图 可见A与C不独立.

2．设随机变量的分布函数为，则的值为
（A）. （B）.
（C）. （D）. （ ）

答案：（A）
解答： 所以
应选（A）.

3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是
（A）与独立. （B）.
（C）. （D）. （ ）
答案：（B）

解答：由不相关的等价条件知，

应选（B）.

4．设离散型随机变量和的联合概率分布为

若独立，则的值为
（A）. （A）.
（C） （D）. （ ）
答案：（A）

解答： 若独立则有

Y
X

，
故应选（A）.

5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中
正确的是

（A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量.
（C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ）

答案：（A）
解答：
，所以是的无偏估计，应选（A）.

三、 （7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，
求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则（1）

（2） .

四、 （12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，
求的分布列、分布函数、数学期望和方差.

解：的概率分布为

即
的分布函数为

.
五、 （10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.

1
D
0
1
z
x
y
x+y=1
x+y=z
D1
解： （1）的概率密度为

（2）利用公式
其中
当 或时
x
z
z=x
时

故的概率密度为

的分布函数为

或利用分布函数法

六、 （10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.

x
y
0
1
2
解： （1）

；

（2）

.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.
（附注）

解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）

（2）的拒绝域为.
，
因为 ，所以接受.

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级： 姓名： 学号：
一、 单项选择题(每题3分 共18分)
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得 分

一、单项选择题(每题3分 共18分)
（1）

（2）设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
则（ ）。
(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D)

（3）
设事件与同时发生必导致事件发生，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）

（4）

（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中
未知，则（ ）是一个统计量。
(A) (B)
(C) (D)
（6）设样本来自总体未知。统计假设
为 则所用统计量为（ ）
(A) (B)
(C) (D)

二、填空题(每空3分 共15分)
（1）如果，则 .

（2）设随机变量的分布函数为

则的密度函数 ， .
（3）

（4）设总体和相互独立,且都服从，是来自总体的
样本，是来自总体的样本，则统计量
服从 分布（要求给出自由度）。

二、填空题(每空3分 共15分)
1. 2. , 3. 4.
三、(6分) 设 相互独立，，，求.
解： 0.88=
= (因为相互独立)……..2分
= …………3分
则 ………….4分

…………6分

四、（6 分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在
运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
解：用表示时刻运行的电梯数， 则~ ………...2分
所求概率 …………4分
=0.9919 ………….6分
五、（6分）设随机变量X的概率密度为 ，
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分

当时， ………….2分
由， 得 …………4分
从而的密度函数为 …………..5分

= …………..6分

五、（6分）设随机变量X的概率密度为 ，
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分

当时， ………….2分
由， 得 …………4分
从而的密度函数为 …………..5分
= …………..6分
六、（8分） 已知随机变量和的概率分布为

而且.
(1) 求随机变量和的联合分布;
(2)判断与是否相互独立?

解：因为，所以
(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出

-1 0 1

0

1

0
0

0

………….4分
(2) 因为
所以 与不相互独立
…………8分

七、（8分）设二维随机变量的联合密度函数为

求：（1）；（2）求的边缘密度。
解：（1） …………..2分
=

=[] ………….4分

（2） …………..6分
……………..8分
八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

解： 因为 得 ………….2分
用表示出售一台设备的净盈利
…………3分

则
………..4分
所以
（元） ………..6分
九、（8分）设随机变量与的数学期望分别为和2，方差分别为1和4，而相关系数为，求。

解：已知
则 ……….4分
……….5分
……….6分
=12 …………..8分

十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数的值表示）.
解：用表示第户居民的用电量，则
………2分
则1000户居民的用电量为，由独立同分布中心极限定理
………3分

= ………4分
……….6分
= ………7分
十一、（7分）设是取自总体的一组样本值，的密度函数为

其中未知，求的最大似然估计。
解: 最大似然函数为
……….2分
= ……… .3分
则

………..4分
令 ………..5分
于是的最大似然估计：
。 ……….7分

十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为，长期以来方差 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为，试求的置信水平为95%的置信区间。（ ）

解： 因为已知，且 …………1分
故 …………2分
依题意
则的置信水平为95%的置信区间为
…………4分
即为 [4.801,5.199] …………5分

《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）
专业、班级： 姓名： 学号：
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得 分

一、单项选择题(每题3分 共15分)
（1）

（2）

（3）
连续随机变量X的概率密度为
则随机变量X落在区间 (0.4, 1.2) 内的概率为( ).

(A) 0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.
（4）

（5）

二、填空题(每空2分 共12分)
（1）

（2）

（3）

（4）

三、(7分) 已知，条件概率.

四、(9分) .设随机变量的分布函数为，
求:（1）常数,；（2）；（3）随机变量的密度函数。

五、(6分) 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率.

六、(8分) 已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数.

七、(7分) 设随机变量的密度函数为

求随机变量的函数 的密度函数。

八、(6分) 现有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m，现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30的概率。(计算结果用标准正态分布函数值表示)

九、(10分) 设二维随机变量的联合密度函数为

求：（1）；（2）求,的边缘密度;（3）判断与是否相互独立

十、(8分) ．设随机变量（）的联合密度函数为

求, 进一步判别与是否不相关。

十一、(7分) .设是来自总体的一个简单随机样本，总体的密度函数为

求的矩估计量。

十二、（5分）总体测得样本容量为100的样本均值，求的
数学期望的置信度等于0.95的置信区间。（

一、 单项选择题：（15分）
1、D
2、D
3、B
4、A
5、C
二、 填空题：（12分）
1、;
2、-1
3、更
4、，;

三、（7分）
解：

四、（9分）
解：（1）由

得

（2）
（3）

五、（6分）

六、（8分）
解：设用表示乙箱中次品件数，则的分布律为

的分布函数为

七、（7分）
解:

八、（6分）
解:

九、（10分）
解：
（1）=
=
（2）关于的边缘分布：

=
同理关于的边缘分布：
=
（3）因为

所以与相互独立。

十、（8分）
解：

因为 ，所以与是相关的。

十一、（7分）
解：

十二、（5分）

解：

共 8页第 8页

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