广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷.docx

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷

年级：
姓名：

2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(一)
(时间:90分钟　满分:150分)
一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)
1.已知集合A={x∈R|2x-3≥0},集合B={x∈R|x2-3x+2<0},则A∩B=(　　)

A.xx≥32 B.x|1<x<2
C.x32≤x<2 D.x32<x<2
2.下列函数中,与函数y=1x定义域相同的函数为(　　)
A.y=1x B.y=x
C.y=x-2 D.y=ln x
3.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为(　　)
A.3 B.-2
C.2 D.不存在
4.已知a=log0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a5=9,S2=4,则a2=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
6.函数f(x)=12x-x+2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

7.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为(　　)
A.34π B.33π
C.32π D.3π
8.已知向量a,b,|a|=2,b=(3,4),a与b的夹角等于30°,则a·b等于(　　)
A.5 B.1033
C.52 D.53
9.为了得到函数y=cos13x的图象,只需要把y=cos x图象上所有的点的(　　)
A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
B.横坐标缩小到原来的13,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
D.纵坐标缩小到原来的13,横坐标不变
10.在[-3,3]中取一实数赋值给a,使得关于x的方程4x2-4ax+2-a=0有两个实根的概率为(　　)
A.16 B.14
C.13 D.12
11.计算sin 240°的值为(　　)
A.-32 B.-12
C.12 D.32
12.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别是2,3,4,则cos B的值为(　　)
A.78 B.1116
C.14 D.-14
13.设x,y满足约束条件x+1≥0,y-2x≥0,x+y-3≤0,则z=x-y的最大值为(　　)
A.3 B.1 C.-1 D.-5
14.函数f(x)=12-cos2π4-x的单调增区间是(　　)
A.2kπ-π2,2kπ+π2,k∈Z B.2kπ+π2,2kπ+3π2,k∈Z
C.kπ+π4,kπ+3π4,k∈Z D.kπ-π4,kπ+π4,k∈Z
15.圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最小值是(　　)
A.2 B.1+2
C.2-1 D.1+22
二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)
16.不等式x2-3x+2<0的解集是　　　　. 
17.如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数为　　　　. 

18.计算log 28+log 212的值是　　　　. 
19.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 018项和S2 018=　　　　. 
三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)
20.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA=12.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=3,求a的值;
(3)求2sinB+cosπ6+B的最大值.

21.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,点E为PB的中点.
(1)求证:PD∥平面ACE;
(2)求证:平面ACE⊥平面PBC.

22.在等比数列{an}中,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1=3,b4=a2,b13=a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前2n项和S2n.

答案：
1.D　【解析】由题意可得,A=xx≥32,B=x1<x<2,结合交集的定义可得A∩B=x32≤x<2.
2.D　【解析】函数y=1x的定义域是(0,+∞),
A中函数的定义域是{x|x≠0},B中函数的定义域是{x|x≥0},C中函数的定义域是{x|x≠0},D中函数的定义域是(0,+∞).
3.B　【解析】由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k=4-20-1=-2.
4.B　【解析】log0.60.5>1,ln 0.5<0,0<0.60.5<1,即a>1,b<0,0<c<1,故a>c>b,故选B.
5.C　【解析】设等差数列{an}的公差为d,
则a5=a1+4d=9,S2=2a1+d=4,
解得a1=1,d=2,
∴a2=a1+d=3.
6.D　【解析】f(2)·f(3)=122·123-3+2
=14·18-1<0.
7.B　【解析】该几何体是底面直径和母线都为2的圆锥,其高为32×2=3,体积为13·π·222·3=33π.故选B.
8.D　【解析】b=(3,4)⇒|b|=5,a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=2×5×32=53.故选D.
9.A　【解析】观察周期2π6π,所以横坐标伸长到原来的3倍,又值域没变,所以纵坐标不变.故选A.
10.D　【解析】在[-3,3]中取一实数赋值给a,则-3≤a≤3,
若方程4x2-4ax+2-a=0有两个实根,
则判别式Δ=16a2-16(2-a)≥0,
即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,
故满足条件的概率P=-2-(-3)+3-13-(-3)=36=12.故选D.
11.A　【解析】sin 240°=sin (180°+60°)=-sin 60°=-32.故选A.
12.B　【解析】由余弦定理得,cos B=22+42-322×2×4=1116.故选B.
13.B　【解析】作出可行域如图所示,y=x-z,作l0:y=x,当l0移至l1,l2两直线交点H时截距-z最小,即z最大,H(-1,-2),zmax=-1+2=1.故选B.

14.C　【解析】f(x)=12-cos2π4-x
=12-1+cosπ2-2x2=-12sin 2x,
即求g(x)=12sin 2x的单调递减区间:
2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2,k∈Z,
kπ+π4≤x≤kπ+3π4,k∈Z.故选C.
15.C　【解析】把圆的方程化为标准方程,得
(x-1)2+(y-1)2=1,
∴圆心坐标为(1,1),半径r=1,
∴圆心到直线x-y=2的距离d=22=2,
则圆上的点到已知直线距离的最小值为d-r=2-1.
故选C.
16.(1,2)　【解析】∵x2-3x+2<0,∴(x-2)(x-1)<0,∴{x|1<x<2}.
17.85　【解析】去掉一个最高分93分和一个最低分79分后,余下的五个分数依次是:84,84,85,86,87,中位数是85.
18.2　【解析】log 28+log 212=log 28×12=log 24=log 222=2log 22=2×1=2.
19.1 009　【解析】根据题意,得an+an+1=1,n∈N*且a1=-1,
所以a1+a2=-1+a2=1,即a2=2,a3=-1,a4=2,…,
所以数列的周期T=2,
所以S2 018=(-1+2)+(-1+2)+…+(-1+2)=20182=1 009.
20.【解】(1)△ABC中,∵cos A=12,∴A=π3.
(2)若b=2,c=3,则a=b2+c2-2bc·cosA=4+9-12×12=7.
(3)2sin B+cosπ6+B=2sin B+32cos B-12sin B=32sin B+32cos B=3sinB+π6,
∵B∈0,2π3,∴B+π6∈π6,5π6,
故当B+π6=π2时,2sin B+cosπ6+B取得最大值为3.
21.【证明】(1)连接BD交AC于O,连接EO,
∵四边形ABCD为矩形,∴O为BD中点.
∵E为PB的中点,∴EO∥PD.
又EO⊂平面ACE,PD⊄平面ACE,
∴PD∥平面ACE.
(2)∵PA⊥平面ABCD,BC⊂底面ABCD,
∴PA⊥BC.
∵底面ABCD为矩形,∴BC⊥AB.
∵PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,
∵AE⊂平面PAB,∴BC⊥AE.
∵PA=AB,E为PB中点,∴AE⊥PB.
∵BC∩PB=B,
∴AE⊥平面PBC,
而AE⊂平面ACE,
∴平面ACE⊥平面PBC.
22.【解】(1)设等差数列{bn}的公差为d,
则有3+3d=3q,3+12d=3q2,解得q=3,d=2或q=1,d=0(舍).
所以an=3n,bn=2n+1.
(2)由(1)可知cn=(-1)n(2n+1)+3n,
则S2n=(3+32+…+32n)+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}
=3×(1-32n)1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]
=32n+1-32+2n.