2021-2022学年高中数学-5-三角函数-5.5.1-第4课时-二倍角的正弦、余弦、正切公式课后.doc

2021-2022学年高中数学 5 三角函数 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后素养落实新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 5 三角函数 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后素养落实新人教A版必修第一册

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课后素养落实(五十一)　二倍角的正弦、余弦、正切公式
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．化简＝(　　)
A．1　　 B．2　　　　
C．　　 D．－1
B　[＝＝2.故选B.]
2．若sin＝，cos＝－，则角α是(　　)
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
C　[∵sin α＝2sincos＝2××＜0，
cos α＝cos2－sin2＝2－2＜0，
∴α是第三象限的角．]
3．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
A　[∵sin α－cos α＝，
∴1－2sin αcos α＝，
即1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]
4．若＝，则tan 2α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
B　[因为＝，
整理得tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.]
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
A　[设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ.
∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，
∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ
＝2××＝.]
二、填空题
6．已知tan 2α＝，则tan α＝________.
－3±　[∵tan 2α＝，∴＝，
∴1－tan2α＝6tan α，解得tan α＝－3±.]
7．化简：·＝________.
tan 2α　[原式＝·＝tan 2α.]
8．已知<α<π，cos α＝－，则sin 2α＋cos 2α＝________.
－　[因为cos α＝－，＜α＜π，所以sin α＝.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.]
三、解答题
9．求证：＝tan.
[证明]　
＝
＝＝tan.
10．(1)已知cos＝，≤α＜，求cos2α＋的值；
(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.
[解]　(1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.
∵cos＞0，
∴＜α＋＜，
∴sin＝－
＝－＝－，
∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.
(2)∵sin 2α＝－cos＝－
＝1－2cos2，
sin＝－sin
＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，
∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.

1．公元前6世纪，古希腊的毕达歌拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin 18°，若a2＋b＝4，则＝(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
A　[∵a＝2sin 18°，a2＋b＝4，
∴b＝4－a2＝4－4sin218°＝4cos218°，
∴＝＝＝＝－.]
2．tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝(　　)
A．1 B．－1
C． D．2
B　[原式＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝－·
＝－1.]
3．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝________.
　[由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，
∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，
∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，
∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.
∵α为锐角，
∴cos2α≠0，sin α＋1≠0，
∴2sin α－1＝0，
∴sin α＝，
∴α＝.]
4．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则sin α＝________，α＋2β＝________.
　π　[由题意得
①2＋②2得cos β＝，cos α＝，
由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，
∴tan β＝2，tan α＝，
∴tan 2β＝－，
∴tan(α＋2β)＝0.
又α＋2β∈，
∴α＋2β＝π.]

在△ABC中，sin Acos A＝sin Bcos B，且A≠B.
(1)求证：A＋B＝；
(2)求sin A＋sin B的取值范围；
(3)若(sin Asin B)x＝sin A＋sin B，试确定实数x的取值范围．
[解]　(1)证明：因为sin Acos A＝sin Bcos B，
所以sin Acos A－sin Bcos B＝0，
即sin 2A＝sin 2B，
解得2A＝2B或2A＋2B＝π，
化简可得A＝B，或A＋B＝，
但A≠B，所以A＋B＝.
(2)由(1)可知A＋B＝，
故sin A＋sin B
＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，
因为0<A<，所以<A＋<，
所以1<sin≤，
故sin A＋sin B的取值范围是(1，]．
(3)由题意可知x＝＝，
设sin A＋cos A＝t∈(1，]，
则t2＝1＋2sin Acos A，
故sin Acos A＝，代入得x＝＝＝≥＝2，
故实数x的取值范围为[2，＋∞).