2022年向量的概念及运算知识点与例题讲解.pdf

学习必备精品学问点向量的概念及运算学问点与例题讲解【基础学问回忆】1.向量的概念向量既有大小又有方向的量；向量一般用 a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法,a；坐标表示法 a=xi+yj=x,；向量的大小即向量的模（长度），记作|下官呷向量 的大小，记作I ar|；y）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量长度为。的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量 a=0_|a 1=0；由于电的方向是任意的，且规定6平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清晰是否有 非零向量”这个条件；（留意与。的区分）单位向量模为1个单位长度的向量，向量%为单位向量_|a0 1=1；r平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量；任意一组平行向量都可以移到同始终线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作ab；由于向量可以进行任意的平移 即自由向量），平行向量总可以平移到同始终线上，故平行向量也称为共线向量；数学中讨论的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必需区分清晰共线向量 中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要懂得好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不-样的 相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 a_5；大小相等，方向相同rXi=x2（Xi,=x y2 J-；yj 2,=V22.向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设斌=S,BC=8,就 a+b=症+制二乱规定：/b-A a（1）0+a=a-0=a；（2）向量加法满意交换律与结合律；向量加法的“三角形法就”与“平行四边形法就”（1）用平行四边形法就时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角 线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量；（2）三角形法就的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示 这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点学习必备 精品学问点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法就；当两向量是首尾连接时，用三角形法就；向量加法的三角形法就可推广至多个向量相加：a+b5+cS+|+p3+q=aS，但这时必需“首尾相连”；（2）向量的减法相反向量：与ar长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量记作_a，零向量的相反向量仍是零向量；关于相反向量有：（D _ 4.a）=a；5）-_ a+（_a）（a）+a=0；（iii）iii a b 是互为相反向量，就a=-b,b=-a,a+b=0：向量减法向量或加上b的相反向量叫做 5与b的差，记作：a _b=a+求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：a-b可以表示为从b的终点指向5的终点的向量（a b有共同起点）；（3）实数与向量的积实数人与向量5的积是一个向量，记作 入a,它的长度与方向规定如下：闸=树回（II）当人0时，入Q的方向与目的方向相同；当九0时，入方的方向与白的方向相反；当九=0时，/白=0,方向是任意的；数乘向量满意交换律、结合律与安排律3.两个向量共线定理：向量5与非零向量占共线1 有且只有一个实数），使得b=.a；4.平面对量的基本定理假如5,%是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一响量 a,有且只有一对实数.1,32使：d _ y矽+入2叨其中不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底5.平面对量的坐标表示（1）平面对量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量，作为基底由平面对量的基本定理知，该平面内的任-向量&可表示成&=d+W，由于&与数对（x,y是 对应的，因此把（x,y）叫做向量a的坐标，记伸 a=1x,y）,其中吭叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标；规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关，只与其相对位置有关系；（2）平面对量的坐标运算：如埼 X,，b X2,y2，就姓 X x2,y1 y2；=（）=（）=（土 土）如 A 玉，B X2,丫2，就厢 x2 Xn y2%；（）（）=（一 一）如 g=1x,y），就目=（x,y）；九.九 九学习必备精品学问点如目=（%，3）,b=（x2,丫2），就 3/b=Xiy2 _x2yi=0；【摸索提示】数学教材是学习数学基础学问、形成基本技能的“蓝本”，才能是在学问传授和学习过程中得到培育和进展的；新课程试卷中平面对量的有些问题与课本的例习题相同或相像，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不行估量的作用；因此，学习阶段要在把握教材的基础上把各个局部学问根据一定的观点和方法组织成整体，形成学问体系；学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特殊是处理 向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面对量的基本定理，运算向量的模、两点的距离等；由于向量是一 新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是学问的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区分，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区分，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行就包括共线（重合）的情形；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细位置无关，只与其相对位置有关系【课前小测】1.设平面对量y 2,1、，就 W 2t）_（）=（）=（一）=A.（7,3）B.（_7,_3）C.10 D.-102已知向量y_/X,1,8 _/4,X 且为/吊就I的值为（）A.0 B.2 C.4 或一4 D.2 或一 23已知点A（1,0）、B（1,3）,向量为_/2k 1,2、，如KB W,就实数k的值为（）=（一）A.-2 B.-1 C.1 D.24已知向量q/3,4 向量8与B方向相反，且8.3，向1,就实数.=（一）=儿=K=_5.己知直角梯形心的顶点坐标分别为血，1）,膻，o）,C（3,1）必，3），就实数。的值是一【典例解析】题型1:平面对量的概念例1.（1）给出以下命题：如|甲|=曲|,就相8b；如A,B,C,D是不共线的四点，就 一 竹科是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；如目=,勺=干，就甲q c；g=3的充要条件是 田|=|曲|且,/倬;如耳与，轲/g,就同g；其中正确的序号是；（2）设ao为单位向量，（1）如a为平面内的某个向量，就 a=|a a。；如a与a。平行，就a _a o；I-（3）如a与ao平行且|a|=1,就a=ao；上述命题中，假命题个数是（）A.0B.1C.2D.3学习必备 精品学问点解析：（1）不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不肯定相同；正确；：褊=前，|嘘国定I且母E,又A,B,C,D是不共线的四点，四边形 ABCD为平行四边形；反之，如四边形 ABCD为平行四边形，就，电咒且|喇因此，相_ Lid；正确；：疝，8的长度相等且方向相同；又匕=d,，b?C的长度相等且方向相同，。，d的长度相等且方向相同，故,=；不正确；当的且方向相反时，即使 向=位|,也不能得到为小，故|却=向且哈/吊不是吩=t）的充要条 件，而是必要不充分条件；不正确；考虑电=6这种特殊情形；综上所述，正确命题的序号是；点评：本例主要复习向量的基本概念；向量的基本概念较多，因而简单遗忘；为此，复习时一方面要构建良 好的学问结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想；2）向量是既有大小又有方向的量，3与口值。模相同，但方向不肯定相同，故（1）是假命题平行，就a与a。方向有两种情形：一是同向二是反向，反向时 a=-|a|ao述，答案选D；点评：向量的概念较多，且简单混淆，故在学习中要分清，懂得各概念的实质,量、同向向量等概念；题型2：平面对量的运算法就例2.如下列图，在平行四边形 ABCD中，以下结论中错误选项（C）A.AB _ DC B,AD.AB _ AC C.AB _ AD _ BD D.AD j CB：变式1.如下列图，D是4ABC的边AB上的中点，就向量等于（A）1 1 1A.BG BA b.BG BA c.BG BA-+之-2-21BC BA+22.以下各命题中，真命题的个数为（D）如|a|=|b|,就 a=b或 a=-b；如AB DC,就A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；如 a=b,b=c,就 a=c;如 ab,b 3就 a c.A.4 B.3 C.2 D.1,故（2）、（3）也是假命题；综上所留意区分共线向量、平行向c D_ CA BD.A学习必备精品学问点3.在四边形 ABCD 中，AB=a+2b,BC=-4a-b,A.梯形 B.平行四边形C.菱形 D.矩形CD=-5a-3b,其中a,b不共线，就四边形 ABCD为(A)4.在 ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点，且GB=2GE,设AB=a,KC=b,试用a、b 表示 AD,AG,25.设P是 ABC所在平面内的一点，BC+BA=BP,就(B)A.PA+PB=0B.PC+PA=OC.PB+PC=0D.PA-PB-PC=O6.已知向量 a=(.3),b=2,0),*+6|=.1,就|a【答案】2,g+=j:.+=J+=【解析】由a b f1,3)ja b|1 3 2.+；已知平面对量 a=(x,1),b=(x,x2),就向量a b()A平行于X轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴 D.平行于其次、四象限的角平分线答案 C+=+#解析 a b(0,1，由1 x?0及向量的性质可知，C正确.2X题型3：平面对境的坐标及运算例 5.已知 ABC 中，A 2,-1),B(3,2，C,BC 边上的高为 AD,求 AD；学习必备精品学问点解析：设D(x,y)就AD x 2,y 1,BD x 3,y 2,BC b,3 AD BC,BD BC6x2 3y 1 Oz x 1J 彳早3 x 3 6 y 2 0 y 1所以AD 1,2；例6.已知点A 4,0),B 4,4),C(2,6),试用向量方法求直线(O为坐标原点)交点 P的坐标；解析：设 p y),就 x,y),(x 4,y)(x.OP AP 由于P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线 OB上;AC 和 OB即得 OPOB,AP AC,由点 A(4,0),B4,4),C(2,6)(2,6),得，AC OB6 4)2v 0 x 3得方程组(，丫，解之得；X4x 4y 0 y 3故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)；4,4题型4：平面对量的性质例7.平面内给定三个向量 a 3,2,b 1,2,c 4,1，回答以下问题:(1)求满意amb nc的实数m,n；(2)如a kc/2b a,求实数k；(3)如d满意de/ab,且d c5，求d；m4n解析:(1)由题意得3,2m 1,2n 4,1所以2mn3,得2m5n9.89(2)akc34k,2k,2ba5,2234k5 2k0,k1613(3)dcX4,y1,ab2,4由题意得35X0 x1214 2 24 4XyXy例8.已知a(1,0),b得或135yy(1)求|a 3b|；(2)当k为何实数时，k a b与a 3b平行，平行时它们是同向仍是反向？解析：（1）由于 a 2,1）.+学习必备精品学问点就 I a 3bl 72 32 58(2)k a b 2,1),a 3b(7,3)(kka由于k a b与a 3b平行，所以3k此时 k a b k2 1).I)i 3b方向相反；2)7。即得k，a 3b(7,3)就13,a点评：上面两个例子重点解析了平面对量的性质在坐标运算中的表达,3b 3(kab)，即此时向量 a 3b与重点把握平面对量的共线的判定以及平面对量模的运算方法；题型5：共线向量定理及平面对量基本定理例9.(2021北京卷文)已知向量 a5,0，b那么A.k 1且c与d同向c.k 1且c与d同向答案 D解析此题主要考查向量的共线(平行)(0,1),c ka b(k R),d a c/d b,假如1)B.k 1且c与d反向D.k 1且c与d反向、向量的加减法.属于基础学问、基本运算考查V a 1,0,b 0,1,如 k 1,就 c a b 1,1,d a b 1,1明显，a与b不平行，排除A、B.如 k 1,就 c a b 1,1,d a b 1,1即cd且c与d反向，排除C,应选D.点评：娴熟运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法就进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合；题型6：平面对量综合问题例10.(2021上海卷文)已知 ABC的角A、B、C所对的边分别是 a、b、c,设向量m a,b)n B,sin A),(b 2,a 2).(s p in(1)m/n,求证：abc为等腰三角形；(2)如m,p,边长C=2,角C=，求 ABC的面积.3 iv v证明：(1)Q m/n,asin A b sinB,a h即a b，其中R是三角形ABC外接圆半径，a b ABC为等腰三角形2R 2Riv y 解(2)由题意可知m/p 0,即a(b2b 2)0a+学习必备精品学问点即(abL3ab_4=02ab 4(舍去 ab 1)S=absinC=1 4 sin=v32【随堂巩固】2 31（2021湖南卷）对于非0向量时a,b,“ab”的正确是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件2（05年山东卷）已知向量D.既不充分也不必要条件回且晌就肯定共线的三点是()A.A、B、D B.A、B、C.B、C、D D.A、C、DC3（04年浙江卷文）已知向量且瓜勿日就匚二LA.回B.SC-9 D.04（05年广东卷）已知向量a,且s,就可【课后巩固】1.已知点M（6,的值为A.HM 1M2的比为1：1,就m2）和M2（0,8）.直线y=mx7与线段M1M2的交点M分有向线段2.（06年全国卷n文）已知向量4,2）,向量0=（口，3）,且口/艮 0m=（）A、9 B、6 C、5 D、33.（05年全国卷III）已知向量,就，且A、B、C三点共线,4.（08年江苏卷）M的夹角为5.(2021湖南卷文)(每道题满分12分)4=0 a _ a=已知向量 a 一(sin,c o s 2sin)，(1,2).6(I)如/b,求tan的值；=8(n 0(II)如|a|b|,0，求的值；答案:【课前小测】1.A 2.D 3.B 4.-1/5 5.-1 或 1【随堂巩固】1 A 2.A 3.A 4.4【课后巩固】学习必备精品学问点1：D 2.：B 3.：S 4.：74 45.解析：(I)由于 a/b,所以 2sin B=c o se _2sin1于是 4sin 0-cosq,故 tarie=_.44 4 2 2(II)由|a|=|b|知，sin 0+(c o -2sin0)=5,o所以 1 2sin 28+4sin 8=5.从而 _2sin 26+2 Uc o s26)=4,即 sin 28+c o s2e=-1,于是sin(a+三)=_五.又由08/知，三4+三 良，4 2 4 4 4所以28+巴=区，或2e+N.4 4 4 43T因此0=二，或0=2 4