四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题-文.doc

四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题 文

四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题 文

年级：
姓名：

- 22 -

四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题 文（含解析）
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.设i是虚数单位，复数，则=（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据模的计算公式计算可得答案．
【详解】解：，
所以

故选：D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模，属于基础题．
2.设动点到的距离与它到的距离的差等于，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线定义可知点轨迹为焦点在轴上的双曲线的上半支，利用可求得，进而得到所求的轨迹方程.
【详解】，点轨迹是焦点在轴上的双曲线的上半支，
其中，，，
点轨迹方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题关键是熟练掌握双曲线的定义；易错点是忽略动点轨迹为双曲线的半支，从而造成轨迹方程求解错误.
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
【详解】由题函数定义域为，，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当时，，则函数图像大致为A选项所示.
故选：A
【点睛】此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。
4.等差数列中的，是函数的极值点，则的值为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
求函数的导数，由题意可得、是对应方程的实根，由韦达定理可得的值，然后由等差数列的性质可得的值，代入化简即可．
【详解】解：因为，求导数可得，
由题意可得、是方程的实根，
由韦达定理可得，
由等差数列的性质可得，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列的性质和韦达定理，属于基础题．
5.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先求抛物线焦点，再根据双曲线焦点列方程，解得结果.
【详解】解：因为的焦点是，双曲线的焦点是，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考查求抛物线焦点以及双曲线焦点，考查运算求解能力；属基础题.
6.已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数可求得，根据两直线平行可构造斜率相等关系求得结果.
【详解】，，
，解得：.
故选：.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线斜率、利用两直线平行关系求解参数值的问题，属于基础题.
7.若函数f(x)＝ax3－x2－x－1在(－∞，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可知恒成立，分和两种情况列式求解.
【详解】由条件可知恒成立，
当时，不恒成立，
当时， ，解得：.
故选：D
【点睛】本题考查导数和函数单调性的应用，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.
8.某公司奖励甲，乙，丙三个团队去A，B，C三个景点游玩，三个团队各去一个不同景点，征求三个团队意见得到：甲团队不去B；乙团队不去C；丙团队只去A或B．公司按征求意见安排，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 丙团队一定去A景点 B. 甲团队一定去C景点
C. 乙团队一定去B景点 D. 乙团队一定去A景点
【答案】B
【解析】
【分析】
安排甲，乙，丙三个团队去A，B，C三个景点游玩，三个团队各去一个不同景点，总共有6种安排，符合条件的只有（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）这两种安排，故可判断出结果.
【详解】安排甲，乙，丙三个团队去A，B，C三个景点游玩，三个团队各去一个不同景点，总共有6种安排，
分别是（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），
（丙，乙，甲），则符合条件的只有（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）这两种安排，
故可判断甲团队一定去C景点.
故选：B
【点睛】本题主要考查了采用列举法求解排列问题，属于基础题.
9.在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理角化边后，利用椭圆的定义和几何性质求得表达式的值.
【详解】
可得：，
又
故椭圆的左右焦点分别为：，
和是椭圆的左右焦点
由顶点B在椭圆，根据椭圆的定义可得：
根据正弦定理：，“角化边”
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，考查正弦定理边角互化，解题关键是掌握正弦定理和椭圆的定义，属于基础题.
10.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
设出三点的坐标，把（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解.
【详解】设点的坐标分别为．又，则
．
．
，
故选：B.
【点睛】考查抛物线的定义，把焦半径（点点距）转化为点到准线的距离是解答这类题的关键；属于中档题.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两直线垂直斜率的关系求出双曲线其中一条渐近线的垂线方程，然后求出B点坐标，然后利用相似三角形的性质，对等式进行变形，最后可以求出双曲线的离心率.
【详解】由双曲线方程可知它的渐近线方程为：，
根据双曲线的对称性，不妨设它的一条渐近线方程为：，它的斜率为，
因此与它垂直的直线的斜率为：，
因此垂线方程为：，
令，，所以，
显然，因此，
即.
故选：C
【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了数学运算能力.
12.已知f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意实数x，均有，当时，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据进行变形，构造易得为偶函数利用单调性解不等式即可.
【详解】

令，则，
当时，，即函数在上单调递增,又为偶函数，
所以在上单调递减.

解得：
故选：A
【点睛】此题考查函数的构造，关键点根据已知式子进行构造新函数利用奇偶性和单调性解不等式，属于较难题目.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.若复数满足其中为虚数单位，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设，根据实虚部分别相等可解.
【详解】解: ，则
所以，，
，
故答案：
【点睛】根据复数相等求复数，解决的关键是实虚部分别相等求解；基础题.
14.已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，点P在抛物线C上，且，则=______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，，则，即可得出结论．
【详解】解：由题意，，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查向量知识的运用，属于基础题．
15.已知F是双曲线的左焦点，点A(1，)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【答案】7
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义对式子|PF|＋|PA|进行转化，然后利用平面内两点间线段最短的性质进行求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为，
因为，所以的坐标为：，
因为P是双曲线右支上的动点，
所以有，因此|PF|＋|PA|，
显然当三点共线时，|PF|＋|PA|有最小值，
最小值为：.
故答案为：7
【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了平面内两点间线段最短的性质应用，属于基础题.
16.已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为，利用导数和二次函数的性质分别求得和的最小值，由此构造不等式求得结果.
【详解】若，，使得成立，则.
由得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由二次函数性质知：；
，解得：，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查恒成立与能成立问题的综合应用，涉及到利用导数求解函数的最值；解题关键是能够将所求问题转化为两函数最值之间的大小关系问题.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为.

未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
40
y
B
总计
60
40
100

（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值．
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为疫苗有效？
附：
临界值表：
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）y＝20，x＝20，A＝40， B＝60；（2）不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为疫苗有效.
【解析】
【分析】
（1）由条件可知，从而求得，再根据列联表再求其他量；
（2）根据公式计算，再和比较大小，得到结论.
【详解】解：⑴设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件M，
由已知得P(M)＝＝，所以y＝20
则 B＝60，x＝20，A＝40.
⑵因为K2＝≈2.778＜6.635.
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为疫苗有效．
【点睛】本题考查独立性检验的简单应用，重点考查读题，计算能力，属于基础题型.
18.某厂家准备在“6.18”举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
广告费支出x
1
2
4
6
11
13
19
销售量y
1.8
3.0
4.0
42
5.0
5.3
5.4

（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程(保留小数点后两位)；
（2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.774和0.888，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
（3）已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果，当广告费x＝20时，求销售量及利润的预报值．
参考公式：回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，.
参考数据：≈2.24，，
【答案】（1）；（2）选用更好；（3）5.99万台；1178万元.
【解析】
【分析】
（1）首先求，并代入公式求和，求出线性回归方程；
（2）越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好；
（3）由（2）可知，当时，求，再代入，求解销售量和利润的预报值.
【详解】解：⑴∵，，
∴ ＝，＝4.1－0.18×8＝2.66，
∴y关于x的线性回归方程为.
⑵∵0.774<0.888且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴选用更好．
⑶由⑵知，当x＝20时，销售量的预报值(万台)，
利润的预报值z＝200×5.99－20=1178(万元)．
【点睛】本题考查回归直线方程和简单应用，重点考查读题，计算能力，属于基础题型.
19.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将两边乘以，用代入，即可求出曲线直角坐标方程；参数方程用代入法消去参数，可求得直线的普通方程；
（2）直线化为过具有几何意义的参数方程，代入曲线的方程，设两点对应的参数分别为，，根据韦达定理，得出，的关系式，结合参数几何意义，将所求的量用，表示，即可求解.
【详解】解：⑴∵∴，则，
即为曲线C直角坐标方程，
∵（为参数）
∴为直线l的普通方程.
⑵注意到在直线l上，直线倾斜角为，
， ，
解得直线l的参数方程化为 （为参数），
代入得，， 恒成立，
设M，N对应的参数分别为，，则， ，
不妨设，
∴.
【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义；属于中档题.
20.设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，方程在区间上有两个实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据导函数的正负即可得到所求的单调区间；
（2）将问题转化为与的图象在上有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，通过数形结合的方式可构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，，定义域为，
，
当和时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）当时，可化为，
，，
若方程在有两个实数解，则与的图象在上有两个不同交点.
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，又，，
则图象如下图所示：

由图象可知：，解得：，
实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据方程根的个数求解参数范围的问题；根据根的个数求解参数范围的关键是能够将问题转化为两函数交点个数的求解问题，进而通过数形结合的方式确定不等关系.
21.已知点F1为椭圆E：(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）；（2）[，1).
【解析】
【分析】
(1)由已知为等腰直角三角形可知，直线和椭圆相切方程联立，判别式为0，即可求得，进而得出结果；
(2)由（1）求得坐标，得到的值，当直线与轴垂直时，直接由，求得λ值；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为y＝kx＋3，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得的取值范围，再由根与系数的关系，结合，把λ用含有的表达式表示，则实数λ的取值范围可求.
【详解】解：⑴∵为等腰直角三角形 ∴，则椭圆E方程化为：
由得
∵直线与椭圆E有且仅有一个交点M. ∴，即
∴椭圆E方程为：
⑵由(1)得M，直线与y轴交于P，
方法一：①当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(3＋)×(3－)＝6，
∴
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，
，即，x1x2＝
∴|PA|·|PB|＝
=
∵ ∴，即，则
综上所述，λ的取值范围是[，1)．
方法二：设直线l参数方程为（t为参数），
代入椭圆E的方程得，，即
设A，B对应的参数分别为，，则
∴|PA|·|PB|＝
∵∴，即，则
综上所述，λ的取值范围是[，1)．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，属于难题.
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．
（1）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；
（2）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）[0，7].
【解析】
【分析】
(1)分别求出直线l，曲线C的直角坐标方程，联立可求出点M，N的坐标，根据两点间距离公式即可求解；(2)设出点P的参数坐标，结合辅助角公式及正弦函数的值域即可求解.
【详解】⑴直线l：的直角坐标方程为：y＝x①，
曲线C的普通方程为②．
联立①②得，即，∴不妨设，，则 .
⑵因为点P（x，y）为曲线C上任意一点，所以可设，，
则，其中，
∵， ∴， 则，，
即，故的取值范围为[0，7].
【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标方程之间的互化、参数方程与直角坐标方程之间的互化及三角函数的性质与三角恒等变换，属于基础题.
23.已知函数.
（1）解不等式；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分、、三段解不等式，综合可得出该不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可求得函数的值域.
【详解】（1）当时，由得，解得，此时；
当时，由得，解得，此时；
当时，由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2），
由绝对值三角不等式可得，
另一方面.
所以，函数的值域为.
【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式求函数值域，考查计算能力，属于中等题.