《金融衍生品》课件_第十八章 交叉货币衍生产品.pdf

第十八章交叉货币衍生产品本章内容一、Quanto二、基于Quanto的衍生产品：Quanto远期（期 货）、Quanto期权、收益互换三、交换期权一、Quanto、Quanto远期与Quanto期权1、Quanto、日经225指数期货 Quanto是一种以外国资产为标的的衍生产品。Quanto到期时外国资产价格以固定汇率元转换为本国 货币计价支付：xS(T)o在芝加哥期货交易所里有一个很著名的期货：日经 225指数期货，它的标的物是日经指数，日经指数是 以日元计价的资产为基础编制的指数，但在美国上 市的日经225指数期货是以美元计价的，价格乘数是 5。设S(T)是日经225指数期货到期时日经指数点位，指数期货多头到期时日经225指数期货合约的美元支 付是5*S(T)F。因此，日经225指数期货可以看成以Quanto为标的 的期货。2、Quanto定价(i)定义相关基础资产(A)本国的无风险资产R(t)(本国货币)R(t)=ertT=rdt(12.1)(12.2)其中，R(0)=1,r为年化的连续复利本国无 风险利率。(B)外国无风险资产的本币价值 如果初始时刻持有一单位的外币，其本币计价：匕=X(0)。t时刻，该外国无风险资产的本币价值：匕仕)=erfl-X(t)(12.3)其中，X(t)表示t时刻的汇率，等于一单位外币折算 的本币单位数；牙为年化的连续复利外国无风险利 对(12.3)式使用伊藤引理，有：=rfdt+(12.4)(c)外国风险资产的本币价值 假设初始时刻持有一单位的外国风险资产，其本币 计济为：匕(0)=S(O)X(O)t时刻，该外国风险资产的本币价值V2(t)=eqtS(t)X(l)(12.5)其中，S(t)是外国风险资产以外币计价的价格，q是 外国风险资产的连续的红利收益率。对(12.5)式使用伊藤引理，有:匕7 dS 1dxi dS dX=qdt+D 八 J A(12.6)(D)汇率X和外国风险资产S服从的随机过程假设汇率X和外国风险资产s满足如下随机 过程：=uxdt+axdBx(12.7)X=usdt+osdBs(12.8)s其中，和之间存在一定相关性，相 关系数为常数P，则(dBQ(dBs)=pdt(12.9)(2)Quanto的鞅定价Quanto的价值记为，(t),，(T)=S(T)。以R(t)作为计价物，贝加(t)与R的比值在本国无 风险资产的风险中性概率下是一个鞅过程，即：器=碎缺卜碎璃(12.10)整理后，有：V(t)=e-r(TT)元硅S(T)(12.11)以R(t)作为计价物时S(T)随机过程及期望值。以R(t)作为计价物时，由2式。=煞 为一个鞅过程，有?=(r-iy)dt+(JxdB(12.12)Z2(t)=e(L)eSk为鞅过程，对Z2(t)运用2维伊藤引理，R(t)有：dZ2 z x,dS dX dS dX.U=(q 丫)a+v+v*V(12-13)乙 2 D A J A将(12.12)及弋?=po%也代入上式，整理后得到：S X等=(q-+ax d欧+9(12.14)由Z2(t)为一个鞅过程，有售=(一 4 _ ptrxcrs)dt+%dB?(12.15)Quanto的定价公式.S(T)=Pcr%crs-|cr2)(7，-t)+crsVT-tdBf E4S(T)=S(t)e(丁广 q_ps)(TT)Quanto的定价公式：V(t)=L(TT)谑抑S(T)(12.16)(12.17)(12.18)课后思考：以丁2。）为计价物，推导出Quanto的定价公式。3、Quanto的复制（或对冲）可以用来复制（或对冲）的资产包括：本国无 风险资产，外国风险资产和外国无风险资产。Quanto资产的定价公式v（t）=cS_q_pM）（TT%s（t）根据伊藤引理可以推导出：与=（r+q+pq4-寸）dt+售（12.19）V J或著,dV=y（r+q+pcrx（Ts-rdt+（12.20）Quanto复制组合 a(t)：购买了按照本币计价价值为a(t)的外国 风险资产，数量为a(t)/X(t)S(t)。b(t)：借入的外国无风险资产的本币价值，数 量是 b(t)/X(t)。c(t)：本国无风险资产的价值。复制资产组合的价值(以本币计价)：w(t)=a(t)+b(t)+c(t)(12.21)Quanto复制组合dw 三 a(t)詈+b(t)詈+c(t)g(12.22)将(12.2)、(12.4)和(12.6)式代入(12.22),整理可得：dw=(aq+apxs+叫+cr)dt+(a+b)+a(12.23)dV=U(r+q+p(jx(js-iy)dt+V(12.20)s对比(12.23)和和(12.20)式，有：a=V,b=V,c=V(12.24)该资产组合的含义是：在国外市场上借入本币价值为V的无风险资产1=-V),购买等额价值的外国风险资产=丫，同时用原来准备投资 Quanto资金购买本国无风险资产(c=V),三个市场上投资的价值按照 本币计价都是V。该复制组合应当随着风险资产价格s(t)和汇率X的变动而动态调整。课后思考：如何动态调整？二、基于Quanto的衍生产品 1、Quanto远期（期货）之前讲过美国芝加哥期货交易所的日经225指数期货。该日经225指数期货到期日 的支付为：5*S（T）-K,K是以美元计价，支付也是按照美元计价。一份初始远期（期货）合约价格为K的 Quanto远期（期货）合约多头在到期日T时 的回报函数为：%S(T)-K(12.25)公平的协议价格如何确定？Quanto远期(期货)是以Quanto为基础资产的远 期(期货)合约。由于Quanto是没有红利支付的 资产，要运用没有红利支付的远期(期货)合约 的定价公式：F*(t)=S(t)e(r-q)(T-t)其中S(t)即为Quanto的公平价格V(t),q=0。f*(卜川4 m-exp(斤-q-p(7xo$)(T-，)XS(t)(12.25)2、欧式Quanto期权 欧式Quanto看涨期迟，其到期支付为：max(0,XS(T)-K)(12-26)前面已经推导出了Quanto的随机过程U(t),可知，(t)的波动率与S(t)的波动率是完全一 致的，且Quanto没有红利支付的资产。因此可以利用无红利支付的欧式期权定价 公式对Quanto期权定价。欧式Quanto期权定价公式Quanto看涨期权定价公式：V(0)N(i)丁“飞Quanto看跌期权定价公式:e-rTK N(4)-V(0)N(刈)(12.27)(12.28)(12.29)(12.30)3、收益互换 考虑的是外国资产和本国资产的收益互换,名义本金1元的收益互换，其到期时的支 付为：a+豁 一（123）其中，9称为收益互换价差.如何确定适当的互换价差，使得收益互换 当前的价值为0?如何确定收益互换价差?将收益互换价差分成三部分之和：（1）到期支付a用无风险利率贴现，现值为此一打。（2）把携看作是北不的Quanto资产，其当前的价值 为尸 Ps）T。（3）阴，求其现值为5d三部分之和为：e a+exp(一 r _ q,一 p(7x0s)丁 一 e 口因此，有：a=exp(r-qd)T-exp(-qf-paxas)T(12.31)(12.32)