正弦、余弦、正切函数的性质和图像.doc

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1-4-1正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题
1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是(　　)
A．向左右无限伸展
B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称
2．从函数y＝cosx，x∈[0,2π)的图象来看，对应于cosx＝的x有(　　)
A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值
3．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是(　　)

4．下列选项中是函数y＝－cosx，x∈[，]的图象上最高点的坐标的是(　　)
A．(,0) B．(π,1) C．(2π,1) D．(,1)
5．函数y＝cosx＋|cosx|,x∈[0,2π]的大致图象为( )
6．如图所示，函数y＝cosx|tanx|(0≤x<且x≠)的图象是(　　)

7．如图，曲线对应的函数是(　　)

A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|
8．下列函数的图象与图中曲线一致的是(　　)

A．y＝|sinx| B．y＝|sinx|＋
C．y＝|sin2x| D．y＝|sin2x|＋
9．在(0,2π)内，使sinx≥|cosx|成立的x的取值范围为(　　)
A．[,] B．[,] C．[,] D．[,]
10．方程sinx＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8 C．6 D．5
二、填空题
11．已知函数f(x)＝3＋2cosx的图象经过点(，b)，则b＝________.
12．方程sinx＝lgx的解有________个．
13．sinx>0，x∈[0,2π]的解集是________．
14．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是______．
三、解答题
15．用“五点法”作出函数y＝2－sinx，x∈[0,2π]的图象．
16．利用“五点法”作出y＝sin(x－)，x∈[，]的图象．
17．根据函数图象解不等式sinx>cosx，x∈[0,2π]．
18．画出正弦函数y＝sinx，(x∈R)的简图，并根据图象写出－≤y≤时x的集合．
1-4-2-1周期函数
一、选择题
1．定义在R上的函数f(x)，存在无数个实数x满足f(x＋2)＝f(x)，则f(x)(　　)
A．是周期为1的周期函数
B．是周期为2的周期函数
C．是周期为4的周期函数
D．不一定是周期函数
2．函数y＝sin的最小正周期为(　　)
A．π B．2π C．4π D.
3．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin2x
C．y＝cos D．y＝cos4x
4．下列函数中，不是周期函数的是(　　)
A．y＝|cosx| B．y＝cos|x|
C．y＝|sinx| D．y＝sin|x|
5．函数y＝2cos的最小正周期是4π，则ω等于(　　)
A．2 B. C．±2 D．±
6．函数y＝的周期是(　　)
A．2π B．π C . D.
7．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
8．定义在R上的周期函数f(x)的一个周期为5，则f(2011)＝(　　)
A．f(1) B．f(2) C ．f(3) D．f(4)
9．定义在R上周期为4的函数，则f(2)＝(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．2
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于(　　)
A．－ B．1 C．－ D.
二、填空题
11．若函数y＝4sinωx(ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________.
12．已知函数f(x)是定义在R上周期为6的奇函数，且f(－1)＝－1，则f(5)＝________.
13．若函数f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
14．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若＝，则sinα的值为________．
三、解答题
15．求下列函数的周期．
(1)f(x)＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sinx|(x∈R)．
16．函数f(x)满足f(x＋2)＝－，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
17．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
18．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k值．

1-4-2-2正、余弦函数的性质
一、选择题
1．有下列三个函数：①y＝x3＋1；②y＝sin3x；③y＝x＋，其中奇函数的个数是(　　)
A．0　 　 B．1　　 　C．2　　 　D．3
2．使cosx＝1－m有意义的m的取值范围为(　　)
A．m≥0 B．0≤m≤2
C．－1<m<1 D．m<－1或m>1
3．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数(　)
A．[－，] B．[，]
C．[0，] D．[，π]
4．y＝2sinx2的值域是(　　)
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
5．函数y＝是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
6．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
7．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是(　　)
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos (2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
8．已知A＝{x|y＝sinx}，B＝{y|y＝sinx}，则A∩B等于(　　)
A．{y＝sinx} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x＝2π} D．R
9．函数y(x)＝－cos xln x2的部分图象大致是图中的( )

10．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8 C．2π D．4π
二、填空题
11．比较大小：sin______cos.
12．函数y＝sin(x－)，x∈[0，π]的值域为________．
13．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的范围是________．
14．函数y＝3sin的单调递减区间是_____．
三、解答题
15．求函数y＝sinx,x∈的最大值和最小值．
16．求函数y＝cos＋1的最大值，及此时自变量x的取值集合．
17．已知函数f(x)＝log|sinx|.
(1)求其定义域和值域；
(2)判断其奇偶性；
(3)求其周期；
(4)写出单调区间．
18．已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间
[－，]上是增函数，求ω的取值范围．

1-4-3正切函数的性质与图象
一、选择题
1．下列叙述正确的是(　　)
A．函数y＝cosx在(0，π)上是增函数
B．函数y＝tanx在(0，π)上是减函数
C．函数y＝cosx在(0，π)上是减函数
D．函数y＝sinx在(0，π)上是增函数
2．函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
3．函数y＝tanx＋是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
4．下列直线中，与函数y＝tan的图象不相交的是(　　)
A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝
5．下列不等式中，正确的是(　　)
A．tan>tan B．tan<tan
C．tan<tan
D．tan>tan
6．当－<x<时，函数y＝tan|x|的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
7．在区间(－，)范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　　D．5
8．函数y＝tan(sinx)的值域是(　　)
A．[－，] B．[－，]
C．[－tan1，tan1] D．[－1,1]
9．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
10．函数f(x)＝tan在一个周期内的图象是

二、填空题
11．函数y＝的定义域是________．
12．函数y＝－2tan的单调递减区间是 ．
13．三个数cos10°,tan58°,sin168°的大小关系是 ．
14．若tan≤1，则x的取值范围是____．
三、解答题
15．求下列函数的单调区间：
(1)y＝tan; (2)y＝tan2x＋1；
(3)y＝3tan
16．求函数的值域．
17．已知函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，求f()的值．
18．已知函数f(x)＝3tan(x－)．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．

1-4-1正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．B
5．D [析]　，
6．C [析]
7．C 8．B 9．A [析] 在同一坐标系中画出函数，x∈(0,2π)与函数y＝|cosx|，x∈(0,2π)的图象，如图所示，则当sinx≥|cosx|时，<x<.

10．A [析]　画出函数y＝sinx，y＝的图象如图．两图象的交点个数为7，故方程sinx＝的根有7个．

二、填空题
11．4 [析]　b＝f()＝3＋2cos＝4. 12．3
13．(0，π) [析]　如图所示是y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，

由图可知满足题意的解集是(0，π)．
14.
[解析]　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示，

当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方,此时有－<x<0或＋2kπ<x<＋2kπ(k∈N)．
三、解答题
15．略 16．略
17．[解析]　在同一坐标系中画出函数y＝sinx和y＝cosx在x∈[0,2π]上的图象，如图所示，

可知，当<x<时，sinx>cosx，
即不等式的解集是(，)．
18．[解]　

过(0，－)、(0，)点分别作x轴的平行线，从图象可看出它们分别与正弦曲线交于(＋2kπ，－)，k∈Z，(＋2kπ，－)，k∈Z点和(＋2kπ，)，k∈Z，(＋2kπ，)，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求，
即当－≤y≤时x的集合为：
{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}∪{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
1-4-2-1周期函数
一、选择题
1．D 2．C [解析]　T＝＝4π.
3．D [解析]　T＝＝
4．D 5．D [解析]　4π＝，∴ω＝±.
6．C [解析]　T＝·＝.
7．D [解析]　T＝＝≤2　∴k≥4π又k∈N*∴k最小为13，故选D
8．A [解析]　f(2011)＝f(402×5＋1)＝f(1)．
9．C [解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)又f(x)是4为周期的函数，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)．∴f(2)＝－f(2)∴f(2)＝0，故选C.
10．D[解析]　f＝f＝f
＝f＝f＝f＝sin＝.
二、填空题
11．2 12．－1 13．6 [解析]　T＝，又1<T<3，∴1<<3. ∴<<.∴<ω<2π. 则正整数ω的最大值为6.
14．± [解析]　∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.由f＝3sin＝3cosα＝，∴cosα＝.∴sinα＝±＝±.
三、解答题
15．[分析]　解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期．
[解析]　(1)∵f(x)＝sin，
∴f(x＋8π)＝sin
＝sin
＝sin＝f(x)．
∴f(x)＝sin的周期为8π.
(2)函数y＝|sinx|的图象如图所示．

由图象知T＝π.
[点评]　求三角函数的周期，通常有三种方法．
(1)定义法．根据函数周期的定义求函数的周期．如本例(1)．
(2)公式法．一般地，对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数且A≠0，ω≠0)形式的函数，其周期为T，则T＝.本例(1)可用公式求解如下：T＝＝8π.
(3)图象法，即大致画出函数的图象观察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且简单的方法．
16．[解析]　∵f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)
＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．
17．[解析]　(1)y＝sinx＋|sinx|
＝
函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.
18．[解析]　由5cos(πx－)＝，得cos(πx－)＝.
∵函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×≤3，且4×≥3.
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.

1-4-2-2正、余弦函数的性质
一、选择题
1．C [解析]　函数y＝x3＋1不是奇函数也不是偶函数；函数y＝sin3x和y＝x＋是奇函数．
2．B [解析]　∵－1≤cosx≤－1，∴－1≤1－m≤1.
∴0≤m≤2.
3．C [解析]　∵y＝cos2x，∴2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，亦即[kπ，kπ＋](k∈Z)为y＝cos2x的单调递减区间．而C，[0，]显然满足上述区间，故选C.
[点评]　求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x系数为正)．②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式的方向相同(反)．
4．A [解析]　∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
5．A [解析]　定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数．
6．A [解析]　解法一：易知y＝sinx在R上为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝0.
解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即sin(－x)－|a|＝－sinx＋|a|，－sinx－|a|＝－sinx＋|a|.
∴|a|＝0，即a＝0.
7．A [解析]　选项A：y＝sin(2x＋)＝cos2x，周期为π，在[，]上为减函数；选项B：y＝cos(2x＋)＝－sin2x，周期为π，在[，]上为增函数；选项C：y＝sin(x＋)＝cosx，周期为2π；选项D：y＝cos(x＋)＝－sinx，周期为2π.故选A.
8．B [解析]　A＝R，B＝{y|－1≤y≤1}，
则A∩B＝{y|－1≤y≤1}．
9．A [解析]　函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－cos(－x)ln(－x)2＝－cos xln x2＝f(x)，
则函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项C和D；当x∈(0,1)时，cosx>0,0<x2<1，则ln x2<0，此时f(x)>0，此时函数f(x)的图象位于x轴的上方，排除选项B.
10．D [解析]　如图所示．

由图可知，S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y＝2所围成的图形面积即为矩形OABC的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形＝2×2π＝4π.
二、填空题
11．> 12．[－，1] 13．(－π，0] [解析]　由y＝cosx在[－π，a]上是增函数，则－π<a≤0.
14．(k∈Z) [解析]　令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
三、解答题
15．[解析]　函数y＝sinx在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以函数y＝sinx在区间上的最大值是sin＝1，最小值是sin＝；函数y＝sinx在区间上的最大值是sin＝1，最小值是sinπ＝0.
所以函数y＝sinx，x∈的最大值是1，最小值是0.
16．[解析]　∵x∈R，∴－1≤cos≤1.
∴≤cos＋1≤.
∴函数y＝cos＋1的最大值是.
此时2x－＝2kπ(k∈Z)，∴x＝kπ＋.
即此时自变量x的取值集合是
.
17．[解析]　(1)由|sinx|>0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．
即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
又0<|sinx|≤1，∴log|sinx|≥0.
∴函数的值域为[0，＋∞)．
(2)∵f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝log|sin(－x)|＝log|－sinx|
＝log|sinx|＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)是周期函数，
∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|＝log|－sinx|
＝log|sinx|＝f(x)，
∴f(x)的周期T＝π.
(4)∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
u＝|sinx|在(k∈Z)上是增函数，
在(k∈Z)上是减函数．
∴f(x)在(k∈Z)上是增函数，
在(k∈Z)上是减函数．
即f(x)的单调增区间是(k∈Z)，
单调减区间是(k∈Z)．
18．[解析]　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)得
－＋≤x≤＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
据题意，(k∈Z)．
从而有，解得0<ω≤.
故ω的取值范围是(0，]．

1-4-3正切函数的性质与图象
一、选择题
1．C 2．C [解析]　要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋(k∈Z)，则x≠π＋(k∈Z)．
3．A [解析]定义域是
＝.又f(－x)＝tan(-x)＋＝－＝－f(x)，即函数y＝tanx＋是奇函数．
4．C [解析]　由2x＋＝kπ＋得，x＝＋ (k∈Z)，令k＝0得，x＝.
5．D [解析]　;
,

又，所以,
6．C 7．B 8．C 9．B [解析]　若ω使函数在内是减函数，则有ω<0，并且周期T＝≥－＝π.则－1≤ω<0.
10．A [解析]
则的图象过点，排除选项C，D；
，则的图象过点，排除选项B.故选A.
二、填空题
11．
[解析]　要使函数有意义，自变量x的取值应满足tanx－≥0，即tanx≥.解得＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z.
12．(k∈Z)
[解析]　求此函数的递减区间，也就是求y＝2tan的递增区间，由kπ－<3x＋<kπ＋，k∈Z得：－<x<＋，
∴减区间是，k∈Z.
13．sin168°<cos10°<tan58°
[解析]　∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.
14．(k∈Z)
[解析]　令z＝2x－，在上满足tanz≤1的z的值是－<z≤，在整个定义域上有－＋kπ<z≤＋kπ，解不等式－＋kπ<2x－≤＋kπ，得－＋<x≤＋，k∈Z.
三、解答题
15．(1)由kπ－<x－<kπ＋得
kπ－<x<kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间是，k∈Z.
(2)由kπ－<2x<kπ＋得－<x<＋(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间是(k∈Z)．
(3)y＝3tan＝－3tan，由kπ－<－<kπ＋得4kπ－<x<4kπ＋，所以函数的单调递减区间是(k∈Z)．
16．[解析]　由x∈，得tanx∈，
∴y＝－tan2x＋10tanx－1＝－(tanx－5)2＋24.
由于1≤tanx≤，∴8≤y≤10－4，
∴函数的值域是[8,10－4]．
17．[解析]　∵ω>0，∴函数f(x)＝tanωx的周期为，
且在每个独立区间内都是单调函数，
∴两交点之间的距离为＝，
∴ω＝4，f(x)＝tan4x，
∴f()＝tanπ＝0.
18．已知函数f(x)＝3tan(x－)．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
[解析]　(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋2kπ，k∈Z.
∴定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π.
f(x)为非奇非偶函数．
由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)．

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