人教版高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题.pdf

1 人教版高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题人教版高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题 单选题 1、已知f(x)=2 2,5(+3),5，则f(4)+f(-4)=（）A63B83C86D91 答案：C 分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.依题意，当x 0可得 ，所以()的定义域为|，因为()是奇函数，定义域关于原点对称，所以 1=，解得=12，所以()的定义域为(,12)(12,+)，因为函数()图象与函数()图象关于直线=对称，所以()与()互为反函数，故()的值域即为()的定义域(,12)(12,+).故选：.3、设4=3=36，则1+2=（）A3B1C1D3 答案：B 分析：先求出=log436,=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解.因为4=3=36，所以=log436,=log336，则1=log364,2=log369，所以则1+2=log364+log369=log3636=1.故选：B.4、已知函数()=4+1的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)答案：A 3 分析：令+1=0，即可求出定点坐标；当+1=0，即=1时，+1=0=1，为常数，此时()=4+1=5，即点P的坐标为(1，5).故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.5、下列式子的互化正确的是（）A62=13(0)D=()12(0)答案：C 解析：根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.根据分数指数幂的运算可知，26=|13=13(0)，=()12(0)，故选：C 6、近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第 1 月的口罩月消耗量增长率为1，第 2 月的口罩月消耗量增长率为2，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（）A2=12B2 12C2=1+2D2 1+2 答案：D 分析：求出1,2,的关系，再根据基本不等式判断 由题意(1+1)(1+2)=(1+)2，2+2=12+1+2，1=2时，2=12，2=1+2，4 1 2时，1+2 212，1+=(1+1)(1+2)1+1+1+22，2 12，综上2 1+2，2 12 故选：D 7、我国在 2020 年 9 月 22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于 2030 年前实现碳达峰，争取在 2060 年前实现碳中和为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(120,500)之间的函数关系可近似表示为=133 802+5040,120,144)122 200+80000,144,500，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）A120B200C240D400 答案：D 分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分 120,144)和 144,500分析讨论求出其最小值即可 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为=132 80+5040,120,144)12 200+80000,144,500，当 120,144)时，=132 80+5040=13(120)2+240，当=120时，取得最小值 240，当 144,500 时，=12+80000 200 212 80000 200=200，当且仅当12=80000，即=400时取等号，此时取得最小值 200，综上，当每月得理量为 400 吨时，每吨的平均处理成本最低为 200 元，故选：D 5 8、已知函数()=log12,0,(13),0,若关于x的方程()=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A(,0)(0,1)B(,0)(1,+)C(,0)D(0,1)(1,+)答案：B 分析：利用换元法设=()，则等价为()=0有且只有一个实数根，分 0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.令()=，则方程()=0等价于()=0，当=0时，此时当 0时，()=(13)=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当 0，则()=(13)0，所以由()=log12=0，得=1，则关于x的方程()=0有且只有一个实数根等价于关于x的方程()=1有且只有一个实数根，作出()的图象如图：当 0时，要使直线=1与=()的图象只有一个交点，则只需要当 0时，直线=1与()=(13)的图象没有交点，6 因为 0 时，()=(13),+)，此时()最小值为，所以 1，综上所述，实数a的取值范围是(,0)(1,+)，故选：B.9、中国的 5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：=log2(1+)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W信道内信号的平均功率S信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从 1000 提升至 5000，则C大约增加了（）（附：lg2 0.3010）A20%B23%C28%D50%答案：B 分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比从 1000 提升至 5000 时，C大约增加了log2(1+5000)log2(1+1000)log2(1+1000)=log25001log21001log21001lg5000lg2lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1lg23 0.23=23%.故选：B.10、荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365 37.7834；而把(1 1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365 0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，大约经过(参考数据：lg101 2.0043，lg99 1.9956)（）天 A200 天 B210 天 C220 天 D230 天 答案：D 分析：根据题意可列出方程100 0.99=1.01，求解即可.7 设经过x天“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，则100 0.99=1.01，即(1.010.99)=100，=log1.010.99100=lg100lg1.010.99=lg100lg10199=2lg101 lg99 22.00431.9956=20.0087 230 故选：D 多选题 11、下列说法正确的是（）A函数()=1在定义域上是减函数 B函数()=2 2有且只有两个零点 C函数=2|的最小值是 1 D在同一坐标系中函数=2与=2的图象关于轴对称 答案：CD 分析：利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.对于 A，()=1在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于 B，函数()=2 2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于 C，|x|0，2|x|201，函数y2|x|的最小值是 1，故命题正确；对于 D，在同一坐标系中，函数y2x与y2x的图象关于y轴对称，命题正确.8 故选 CD 小提示：本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题.12、已知函数()=121+2，则下面几个结论正确的有（）A()的图象关于原点对称 B()的图象关于y轴对称 C()的值域为(1,1)D1,2，且1 2,(1)(2)12 0恒成立 答案：ACD 分析：利用奇函数的定义和性质可判断 AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断 CD 的正误.对于 A，()=121+2，则()=121+2=211+2=()，则()为奇函数，故图象关于原点对称，故 A 正确.对于 B，计算(1)=13，(1)=13(1)，故()的图象不关于y轴对称，故 B 错误.对于 C，()=121+2=1+21+2，1+2=,(1,+)，故=()=1+2，易知：1+2(1,1)，故()的值域为(1,1),故 C 正确.对于 D，()=121+2=1+21+2，因为=1+2在上为增函数，=1+21+为(1,+)上的减函数，由复合函数的单调性的判断法则可得()在上单调递减，故1,2，且1 2，(1)(2)12 B=C D 答案：ACD 分析：根据2=log2=1，令1=2，2=log2，3=1，在同一坐标系作出函数图象求解.因为2=log2=1，令1=2，2=log2，3=1，记1=2与3=1交点纵坐标为m，2=log2与3=1交点纵坐标为t，11 当yt时，A 正确；当ym时，B 错误；当t ym时，C 正确 当yt时，D 正确 故选：ACD 双空题 16、已知()=ln(2+1+)+212+1，若()=2，则()=_；若(log132 1)0，则实数的取值范围是_ 答案：2 33,0)(0,33 分析：先判断函数的奇偶性，由()=2求解；再根据函数的单调性，由(log132 1)0求解.因为()的定义域为 R，且()=ln(2+1 )+212+1=ln(2+1+)1+122+1，=ln(2+1+)+212+1=()，所以()是奇函数，又()=2，则()=-2；因为=ln(2+1+),=1 22+1在(0,+)上是增函数，所以()在(0,+)上是增函数，又()是 R 上的奇函数，12 所以()=ln(2+1+)+1 22+1在 R 上递增，且(0)=0，所以由(log132 1)0，得log132 1 0，即log132 log1313，所以2 0213，解得33 0或0 33，所以实数的取值范围是33,0)(0,33，所以答案是：2，33,0)(0,33 17、2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足=0 25730（0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到5730年之间（参考数据：log23 1.6,log25 2.3）答案：12 4011 分析：（1）根据衰变规律，令=5730，代入求得=120；（2）令=350，解方程求得即可.当=5730时，=0 21=120 经过5730年后，碳14的质量变为原来的12 令=350，则25730=35 5730=log235=log23 log25 0.7 =0.7 5730=4011 良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为12；4011 小提示：本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.13 18、已知函数()=2,02,0()，且(1)=1，则=_；若()=4，则=_.答案：14#0.25 2或4#4或2 分析：先求出(1)的值，再求(1)的值，然后列方程可求得a；再分类讨论 0和 0，代入求解m的值.由题意得(1)=2(1)=2，所以(1)=(2)=22=4=1，解得=14.()=22,02,0，又()=4 当 0时，()=(2)=222=4，解得=2；当 0时，()=(22)=2222=4，解得=4.所以=2或 4 所以答案是：14，2或4 解答题 19、（1）已知12+12=3，计算：2+27+1+12+12；（2）设2=8+1，9=39，求+的值 答案：（1）4；（2）27 分析：（1）对12+12=3两边平方，求出+1=7，再对此式两边平方，化简可得2+2=47，从而代入可求结果，（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于,的方程组，求出,的值，从而可求得+的值（1）因为12+12=3，所以(12+12)2=9，所以+1+2=9，所以+1=7，14 所以(+1)2=72，即2+2+2=49，所以2+2=47，所以2+27+1+12+12=4777+3=4 （2）因为2=8+1，所以2=23(+1)，即=3(+1)又9=39，所以32=39，即2=9，由=3(+1)2=9，解得=21=6，故+的值为 27 20、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在 20 元到 40 元之间时，其销售量（件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示（元/件）20 21 22 23 39 40（件）440 420 400 380 60 40(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是 20 元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？答案：(1)=20+840(20 40)(2)每件工艺品的售价为 31 元时，利润最大，最大利润为 2420 元 分析：（1）设=+，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与的关系，由二次函数的性质得最大值（1）设=+，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得440=20+,400=22+,解得=20,=840,一次函数的解析式为=20+840(20 40)（2）15 设利润为元，由题意可得=(20+840)(20)=202+1240 16800=20(31)2+2420，当=31时，max=2420，每件工艺品的售价为 31 元时，利润最大，最大利润为 2420 元