全国高中数学第四章指数函数与对数函数易错题集锦.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数易错题集锦全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数易错题集锦 单选题 1、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()=e描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln20.69)（）A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 答案：B 分析：根据题意可得()=0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为1天，根据0.38(+1)=20.38，解得1即可得结果.因为0=3.28，=6，0=1+，所以=3.2816=0.38，所以()=0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为1天，则0.38(+1)=20.38，所以0.381=2，所以0.381=ln2，所以1=ln20.380.690.38 1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.2、若()=(6 ),1 1log1+3 (6 )，解不等式组可求得答案 因为()=(6 ),1 1log1+3 (6 )，解得32 0,(12)=2 2 0,(13)=23 3 0(14)=24 4 0，所以(12)(1)0，可得=10 故选：A.6、设log34=2，则4=（）A116B19C18D16 答案：B 分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 由log34=2可得log34=2，所以4=9，所以有4=19，故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.7、近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第 1 月的口罩月消耗量增长率为1，第 2 月的口罩月消耗量增长率为2，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（）A2=12B2 12C2=1+2D2 1+2 答案：D 分析：求出1,2,的关系，再根据基本不等式判断 由题意(1+1)(1+2)=(1+)2，2+2=12+1+2，1=2时，2=12，2=1+2，1 2时，1+2 212，1+=(1+1)(1+2)1+1+1+22，2 12，综上2 1+2，2 12 故选：D 8、已知函数()=log12,0,(13),0,若关于x的方程()=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A(,0)(0,1)B(,0)(1,+)C(,0)D(0,1)(1,+)答案：B 分析：利用换元法设=()，则等价为()=0有且只有一个实数根，分 0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.令()=，则方程()=0等价于()=0，当=0时，此时当 0时，()=(13)=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当 0，则()=(13)0，所以由()=log12=0，得=1，则关于x的方程()=0有且只有一个实数根等价于关于x的方程()=1有且只有一个实数根，作出()的图象如图：当 0时，要使直线=1与=()的图象只有一个交点，则只需要当 0时，直线=1与()=(13)的图象没有交点，因为 0 时，()=(13),+)，此时()最小值为，所以 1，综上所述，实数a的取值范围是(,0)(1,+)，故选：B.9、log318 log32=（）A1B2C3D4 答案：B 解析：利用对数的运算性质计算即可得答案.log318 log32=log3182=log39=2.故选：B.10、设函数f（x）ln|2x+1|ln|2x1|，则f（x）（）A是偶函数，且在(12，+)单调递增 B是奇函数，且在(12，12)单调递增 C是偶函数，且在(，12)单调递增 D是奇函数，且在(，12)单调递增 答案：B 分析：先求出()的定义域结合奇偶函数的定义判断()的奇偶性，设t|2+121|，则ylnt，由复合函数的单调性判断()的单调性，即可求出答案.解：由2+1 02 1 0，得x12 又f（x）ln|2x+1|ln|2x1|（ln|2x+1|ln|2x1|）f（x），f（x）为奇函数，由f（x）ln|2x+1|ln|2x1|ln|2+121|，2+121=1+221=1+112 可得内层函数t|2+121|的图象如图，在（，12），（12，+）上单调递减，在（12，12）上单调递增，又对数式yln是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（12，12）上单调递增，在（，12），（12，+）上单调递减 故选：B 11、方程log2=log4(2+3)的解为（）A1B1 C3D1或3 答案：C 分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.log2=log4(2+3)=12log2(2+3)=log22+3，02+3 0=2+3，解得：=3.故选：C.12、已知函数()=2 1，则不等式()0的解集是（）A(1,1)B(,1)(1,+)C(0,1)D(,0)(1,+)答案：D 分析：作出函数=2和=+1的图象，观察图象可得结果.因为()=2 1，所以()0等价于2 +1，在同一直角坐标系中作出=2和=+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2 +1的解为 1.所以不等式()0的解集为：(,0)(1,+).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.填空题 13、化简(1)2+(1 )2+(1)33=_.答案：a-1 分析：根据根式的性质即可求解.由(1)2知a-10，a1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-1 14、函数()=log12(2 5+6)的单调递减区间为_.答案：(3,+)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：2 5+6 0，解得 3或 0，若(2 2)(1)，则实数的取值范围是_ 答案：352,+)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数()=2+1,02,0 在(,0单调递增，在(0,+)为常数函数，且(0)=2 若(2 2)(1)则2 2 1 0或2 2 0 1或2 2 0 1 0 则2 3+1 0 1 或2 2 00 1 或2 2 0 1 0 解得：352 1或1 2或 2，综上所述：352,+)所以答案是：352,+)17、计算：eln2+(log23)(log34)=_.答案：4 分析：根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.eln2+(log23)(log34)=2+lg3lg2lg4lg3=2+log24=2+2=4，所以答案是：4 解答题 18、吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200 万元每生产万盒，需投入成本()万元，当产量小于或等于 50 万盒时()=180+100；当产量大于 50 万盒时()=2+60+3500，若每盒玩具手办售价 200 元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润售价成本，成本固定成本生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)=20 300,0 502+140 3700,50,N(2)70 万盒 分析：（1）根据题意分0 50和 50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于 50 万盒时，=200 200 180 100=20 300，当产量大于 50 万盒时，=200 200 2 60 3500=2+140 3700，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为 =20 300,0 502+140 3700,50,N（2）当0 50时，20 50 300=700；当 50时，=2+140 3700，当=1402=70时，=2+140 3700取到最大值，为 1200 因为700 0的解集.答案：(1)23 2(2)(,)(3,+)分析：（1）由题意可得 0，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求()的最小值；（2）不等式化为(+)(3)0，比较和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于一元二次不等式2+2+2 0的解集为R，所以=42 4(+2)0，化简可得：2 2 0，解得：1 2，所以1 +2 4，所以()=+3+2=+2+3+2 2 2(+2)3+2 2=23 2，当且仅当+2=3+2即=3 2，()的最小值为23 2.(2)不等式2+(3)3 0，可化为(+)(3)0，因为1 2，所以2 1 3，所以该不等式的解集为(,)(3,+).