人教版高中数学第四章指数函数与对数函数高频考点知识梳理.pdf

1 人教版高中数学第四章指数函数与对数函数高频考点知识梳理人教版高中数学第四章指数函数与对数函数高频考点知识梳理 单选题 1、2021 年 10 月 16 日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将 3 名宇航员送入太空，发射取得圆满成功已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式=0 ln计算火箭的最大速度(m/s)，其中0(m/s)是喷流相对速度，(kg)是火箭（除推进剂外）的质量，(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”若某型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为 625 时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge 0.434,lg2 0.301）A5790m/sB6219m/sC6442m/sD6689m/s 答案：C 分析：根据对数的换底公式运算可得结果.=0 ln=1000 ln625=10004lg5lge=1000 4(1lg2)lge 6442m/s.故选：C 2、已知函数()=4+1的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)答案：A 分析：令+1=0，即可求出定点坐标；当+1=0，即=1时，+1=0=1，为常数，此时()=4+1=5，即点P的坐标为(1，5).2 故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.3、若ln2=，ln3=，则log818=（）A+33B+23C+23D+33 答案：B 分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(322)ln23=2ln3+ln23ln2=2+3.故选：B 4、若1，2是二次函数=2 5+6的两个零点，则11+12的值为（）A12B13C16D56 答案：D 分析：解方程可得1=2,2=3，代入运算即可得解.由题意，令2 5+6=0，解得=2或3，不妨设1=2,2=3，代入可得11+12=12+13=56.故选：D.5、已知=lg2，10=3，则log56=（）A+1+B+1C1+D1 答案：B 分析：指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形.=lg2,10=3，3 =lg3，log56=lg6lg5=lg23lg102=lg2+lg31lg2=+1 故选：B 6、已知函数()=,0(2)+3,0，满足对任意x1x2，都有(1)(2)120 成立，则a的取值范围是（）Aa(0,1)Ba34,1)Ca(0,13Da34,2)答案：C 分析：根据条件知()在R上单调递减，从而得出0 1 2 03 1，求a的范围即可 ()满足对任意x1x2，都有(1)(2)120 成立，()在R上是减函数，0 1 2 0(2)0+3 0，解得0 0且 1）的图象关系可能是（）AB CD 答案：C 6 分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可 A由对数图象知0 1，矛盾，B由对数图象知 1，此时直线的纵截距0 1，矛盾，C由对数图象知0 1，此时直线的纵截距0 1，此时直线的纵截距 10 1，由=为增函数得0 10 1，得的取值范围是(63,1)故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型.多选题 11、已知函数()=212+1，下面说法正确的有（）A()的图象关于轴对称 B()的图象关于原点对称 C()的值域为(1,1)D1,2，且1 2，(1)(2)12 0，所以2+1 1，所以0 12+1 1，2 22+1 0，所以1 1 22+1 1，可得()的值域为(1,1)，故选项 C 正确；设任意的1 0，22+1 0，21 22 0，所以2(2122)(21+1)(22+1)0，即(1)(2)0，故选项 D 不正确；故选：BC 小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设1,2是该区间内的任意两个值，且1 1，若函数()+=0有五个零点，则实数可取（）A3B1C12D2 答案：CD 分析：函数()+=0有五个零点等价于=()与=有五个不同的交点，作出()图像，利用图像求解即可 函数()+=0有五个零点等价于=()与=有五个不同的交点，作出()图像可知，当=32时，(32)=|(32)2+3 (32)|=94 若=()与=有五个不同的交点，则 (0,94)，(94,0)，故选：CD 13、为了得到函数=ln()的图象，可将函数=ln的图象（）A纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 C向上平移一个单位长度 9 D向下平移一个单位长度 答案：BC 分析：根据函数图像变换求得结果.解：由题意函数=ln的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1，可得到函数=ln()的图象，则错误，B 正确；因为=ln()=ln+1，则将函数=ln的图象向上平移一个单位可得到函数=ln()的图象，则 C 正确，D 错误.故选：BC.14、(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系t64,0,2+6,0,且该食品在4 的保鲜时间是 16 小时已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（）A该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时 B当x6，6时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少 C到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 答案：AD 分析：由题设可得=12即可写出解析式，再结合各选项的描述及函数图象判断正误即可.10 由题设，可得24+6=16，解得=12，=64,0262,0，=6，则=23=8，A 正确；6,0时，保鲜时间恒为 64 小时，(0,6时，保鲜时间随增大而减小，B 错误；此日 11 时，温度超过 11 度，其保鲜时间不超过 2 小时，故到 13 时甲所购食品不在保鲜时间内，C 错误；由上分析知：此日 14 时，甲所购食品已过保鲜时间，D 正确.故选：AD.15、已知函数()=+，则下列结论中正确的是（）A()的定义域为 R B()是奇函数 C()在定义域上是减函数 D()无最小值，无最大值 答案：BD 分析：求解 0，可判断 A；利用函数奇偶性的定义可判断 B；比较(1),(1)可判断 C；分离常数得到()=1+221，分析单调性及函数值域可判断 D 选项 A，0，解得 0，故()的定义域为|0，选项 A 错误；选项 B，函数定义域关于原点对称，且()=+=()，故()是奇函数，选项 B 正确；选项 C，(1)=1+1=2+112 0，故(1)0，=1+21，由于=2在上单调递增，=11 1+21在(0,1),(1,+)分别单调递减，故函数()在(,0),(0,+)分别单调递减，且 时，()1，0时，()，0+时，()+，+时，()1，故函数()的值域为(,1)(1,+），无最小值，无最大值，选项 D 正确 故选：BD 双空题 16、已知函数()=22+2,0,3，则该函数的最大值为_，最小值为_.答案：2 18 分析：先求()=2+2值域，再根据=2单调性求()最值.因为函数()=2+2=(1)2+1在0,1)上单调递增，在(1,3上单调递减，且(0)=0,(3)=3，(1)=1 ()3,1，因为函数=2单调递增，18 2()2，即函数()的最大值为 2，最小值为18.所以答案是：2；18 小提示：本题考查函数最值、指数函数单调性、二次函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.17、生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为=(12)（其中为常数），大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，则=_；若 2022 年某遗址文物出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 75%，则可推断该文物属于_（填“战国”“汉”“唐”或“宋”）参考数据：log20.75 0.4 参考时间轴：12 答案：5730 战国 分析：由题意当=5730时，=12，求出a；得到解析式=(12)5730，令=0.75解方程即可得到答案.依题意，当=5730时，=12，则有12=(12)5730，解得=5730 于是得=(12)5730，0，当=0.75时，(12)5730=0.75，于是得5730=log120.75=log20.75 0.4，解得 5730 0.4=2292，由2022 2292=270，得对应朝代为战国所以可推断该文物属于战国 所以答案是：5730；战国.18、已知函数()=2log2(1)(1)，则(8)=_，若直线y=m与函数f(x)的图象只有 1 个交点，则实数m的取值范围是_ 答案：3 0 2,+)解析：根据自变量范围代入对应解析式，求得(8)；作出函数()图象，再结合图象确定参数取值范围.(8)=log28=3，作出函数()的图象，如图所示，若直线=与函数()的图象只有 1 个交点，则 2或=0，所以答案是：3，0 2,+)13 小提示：本题考查求分段函数值以及根据函数零点个数求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.解答题 19、已知函数f(x)(a2a5)ax是指数函数（1）求f(x)的表达式；（2）判断F(x)f(x)f(x)的奇偶性，并加以证明 答案：（1）f(x)2x；（2）奇函数；证明见解析 分析：（1）利用指数函数的定义，求出，即可求()的表达式，（2）()=2 2，即可利用定义判断()=()()的奇偶性.（1）由a2a51，可得a2 或a3(舍去)，f(x)2x（2）()=2 2，()=2 2=(2 2)=()，且定义域为R，F(x)是奇函数 20、计算：（1）lg25+lg2lg50+(lg2)2；（2）ln3+log525+(0.125)23 答案：（1）2；（2）11.分析：（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.（1）原式=2lg5+lg2 (lg100 lg2)+(lg2)2=2lg5+lg2 (2 lg2)+(lg2)2=2 (lg5+lg2)14 =2lg10=2 （2）原式=3+log51252+(0.5)323=3+212log55+(0.5)2=3+4+(21)2=3+4+22=11