高中数学-第二章-数列-2.2-等差数列(二)导学案-新人教A版必修5.docx

高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（二）导学案 新人教A版必修5

高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（二）导学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

2.2　等差数列（二）
【教学目标】
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.2　等差数列（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.
二、自主学习
教材整理　等差数列的性质
阅读教材P39探究及练习第4,5题，完成下列问题．
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
三、合作探究
问题1　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?
提示：设等差数列的首项为a1，
则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
问题2　由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
提示：等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝.
问题3　还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
提示：利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
问题4　若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示：∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
探究点1　等差数列推广通项公式的应用
例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
提示：因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，
所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
名师点评：　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
探究点2　等差数列与一次函数的关系
例2　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
提示：取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，
所以{an}是等差数列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
名师点评：本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．
探究点3　等差数列性质的应用
例3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
提示：方法一　因为a1＋a7＝2a4，
a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，
(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二　设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②
解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
提示：设公差为d，
则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝______.　
提示：∵a3＋a8＝10，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
名师点评：　解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
四、当堂检测
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)
A．3 B．－6 C．4 D．－3
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　)
A．32 B．－32 C．35 D．－35
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
提示：1．B　2.C　3.A
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．