2020-2021高中数学-第七章-随机变量及其分布-7.3.2-离散型随机变量的方差素养检测新人教.doc

2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差素养检测新人教A版选择性必修第三册

2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差素养检测新人教A版选择性必修第三册

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姓名：

十二　离散型随机变量的方差

(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4 D.D=
【解析】选AB.随机变量X服从两点分布,其中P=,所以P(X=1)=,
E(X)=0×+1×=,
D(X)=×+×=,
在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;
在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确;
在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C错误;
在D中,D(X)=,故D错误.
2.已知随机变量ξ的分布列如表,则ξ的标准差为 (　　)
ξ
1
3
5
P
0.4
0.1
x
A.3.56 B. C.3.2 D.
【解析】选D.由分布列的性质得:0.4+0.1+x=1,解得:x=0.5,
所以E=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,
所以D=×0.4+×0.1+×0.5=3.56,
所以ξ的标准差为=.
3.随机变量ξ的分布列如下表,且E(ξ)=1.1,则D(ξ)= (　　)
ξ
0
1
x
P

p

A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.684
【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p=.由E(ξ)=0×+1×+x=1.1,得x=2,
所以D(ξ)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.
4.设随机变量X的概率分布为P=,i=1,2,3,则D等于 (　　)
A. B. C.1 D.2
【解析】选B.因为P(X=i)=,i=1,2,3,
所以E(X)=1×+2×+3×=2,D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=.
5.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P=,E=,则D= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.设P(X=1)=p,P(X=2)=q,
因为E(X)=p+2q+3×=①,
又因为+p+q=1②,
由①②得,p=,q=,所以D(X)=++=.
6.袋子里有5个不同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,从袋中一次取出三个球,记随机变量ξ是取出球的最大编号与最小编号的差,数学期望为E,方差为D(ξ),则下列选项正确的是 (　　)
A.E=2,D=0.6
B.E=2,D(ξ)=0.4
C.E(ξ)=3,D=0.4
D.E=3,D=0.6
【解析】选D.从5个球中取3个球,共有=10种取法,其组合分别为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),
(2,4,5),(3,4,5),
所以随机变量ξ的可能取值为4,3,2,
P(ξ=4)=,P(ξ=3)==,P(ξ=2)=.
所以E(ξ)=4×+3×+2×=3,D(ξ)=(4-3)2×+(3-3)2×+(2-3)2×=0.6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量X1,X2,已知E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),则自动包装机　　　　的包装质量较好. 
【解析】因为E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),故乙包装机的包装质量稳定.
答案:乙
8.若随机变量X的分布列如表,且E=2,则D(2X-3)的值为　　　　. 
X
0
2
a
P

p

【解析】由题意可得:+p+=1,解得p=,
因为E(X)=2,所以0×+2×+a×=2,
解得a=3.
所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1.
所以D(2X-3)=4D(X)=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P

p
若E=.
(1)求D的值;
(2)若Y=3X-2,求D的值.
【解析】(1)由题意可得++p=1,得p=,
又E=0×+1×+x×=,解得x=2.
所以D=×+×+2-2×=.
(2)因为Y=3X-2,
所以D=D=9D=9×=5.
10.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表:
降水量X
X<300
300≤X
<700
700≤X
<900
X≥900
工期延误
天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:
(1)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率;
(2)工期延误天数Y的均值与方差.
【解析】(1)由题意可得P=1-P(X<300)=1-0.3=0.7,
X≥300且工期延误不超过6天的概率为P=P=P(X<900)-P=0.9-0.3=0.6,
因此,在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率为P=
==;
(2)由题意可知P=0.3,P
=P-P
=0.7-0.3=0.4,
P=P-P
=0.9-0.7=0.2,
P=1-P=1-0.9=0.1.
所以,随机变量Y的分布列如表所示:
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
所以E=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D=×0.3+×0.4+×0.2+×0.1=9.8.
所以,工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.

(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)
1.已知ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
P

则在下列各式,①E(ξ)=-;②D(ξ)=;
③P(ξ=0)=中,正确的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.由题意,根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得:
E=(-1)×+0×+1×=-,所以①正确;
D=×+×+×=,所以②不正确;
又由分布列可知P(ξ=0)=,所以③正确.
2.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 (　　)
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
【解析】选B.ξ1可能的取值为0,1,2;ξ2可能的取值为0,1,P=,P=,P
=1--=,
故E(ξ1)=,D(ξ1)=02×+22×+12×-=.
P==,P==,
故E(ξ2)=,D(ξ2)=02×+12×-=,
故E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).
3.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有 (　　)
A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,
D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.
4.已知a,b∈R,随机变量X,Y的分布列是
X
-1
0
1
P

a
b

Y
-1
0
1
P
a
b

则随着a的增大,D (　　)
A.一直增大 B.一直减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
【解析】选C.由题意得a+b=,即b=-a,所以E(X)=(-1)×+0×a+1×b=b-=-a,
D(X)=×+a×
+b×=×+a×a-2+-a×=-a2-a+,
E(Y)=(-1)×a+0×b+1×=-a,
D(Y)=a×+b×
+×
=a×+×+×=-a2+a+,
因为X,Y相互独立,所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)=-2a2+a+=-2+,
因为0<a<,
所以当0<a<时,D(X+Y)随a的增大逐渐增大;
当<a<时,D(X+Y)随a的增大逐渐减小.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.已知随机变量ξ的分布列为:
ξ
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(ξ)=,则D(ξ)=　　　　. 
【解析】由E(ξ)=1×0.5+2x+3y=,整理得:2x+3y=,又由0.5+x+y=1,即x+y=,
所以x=,y=,
D(ξ)=×0.5+×+×=.
答案:
6.已知不透明口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X,则X的数学期望E(X)=　　　　,方差D(X)=　　　　. 
【解析】依题意可知X的可能取值为1,3,且P=,P=.故X的分布列为
X
1
3
P

所以E=1×+3×=,D=×+×=.
答案:　
7.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
2a
b
当D(X)最大时,E(X)=　　　　. 
【解析】由题知b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,
D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a,故当a=时D(X)最大,此时E(X)=.
答案:
8.随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3),其中a是常数,则D=　　　　. 
【解析】由题意得++
=a=a=1,
则a=,所以P=,P=,
P=,则E(X)=++=,D(X)=×+×+×=,
所以D(aX)=a2D(X)=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.2
0.3
0.3
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为300元;分4期或5期付款,其利润为400元,η表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P;
(2)求η的分布列、期望和方差.
【解析】(1)购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,
由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”,
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
P==0.512,
所以P=1-P=1-0.512=0.488;
(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,300元,400元.得到变量对应的事件的概率
P=P=0.2,
P=P+P=0.3+0.3=0.6,
P=P+P=0.1+0.1=0.2,
η的分布列为
η
200
300
400
P
0.2
0.6
0.2
所以E=200×0.2+300×0.6+400×0.2=300,
所以D=×0.2+×0.6+×0.2=4 000.
10.今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A,B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为:
X
5%
10%
P
0.8
0.2

Y
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η);
(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?
(注:D=a2D(X))
【解析】(1)由题知,ξ,η的分布列分别为:
ξ
5
10
P
0.8
0.2

η
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
所以E(ξ)=5×0.8+10×0.2=6,
D(ξ)=×0.8+×0.2=4.
E(η)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D(η)=×0.2+×0.5+×0.3=12.
(2)设在A,B两个项目上分别投资x万元,(200-x)万元,利润的方差和为f.
则f=D+D
=D(ξ)+D(η)
=4×+12×
=×
=,
可见,当x=150时,f=12为最小值.
所以,在A,B两个项目分别投资150万元,50万元时,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是12.