2020-2021高中数学-第七章-随机变量及其分布-7.3.2-离散型随机变量的方差素养检测新人教.doc

2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差素养检测新人教A版选择性必修第三册2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差素养检测新人教A版选择性必修第三册年级：姓名：十二离散型随机变量的方差(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是()A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4D.D=【解析】选AB.随机变量X服从两点分布,其中P=,所以P(X=1)=,E(X)=0+1=,D(X)=+=,在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9D(X)=9=2,故C错误;在D中,D(X)=,故D错误.2.已知随机变量的分布列如表,则的标准差为()135P0.40.1xA.3.56B.C.3.2D.【解析】选D.由分布列的性质得:0.4+0.1+x=1,解得:x=0.5,所以E=10.4+30.1+50.5=3.2,所以D=0.4+0.1+0.5=3.56,所以的标准差为=.3.随机变量的分布列如下表,且E()=1.1,则D()=()01xPpA.0.36B.0.52C.0.49D.0.684【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p=.由E()=0+1+x=1.1,得x=2,所以D()=(0-1.1)2+(1-1.1)2+(2-1.1)2=0.49.4.设随机变量X的概率分布为P=,i=1,2,3,则D等于()A.B.C.1D.2【解析】选B.因为P(X=i)=,i=1,2,3,所以E(X)=1+2+3=2,D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=.5.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P=,E=,则D=()A.B.C.D.【解析】选C.设P(X=1)=p,P(X=2)=q,因为E(X)=p+2q+3=,又因为+p+q=1,由得,p=,q=,所以D(X)=+=.6.袋子里有5个不同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,从袋中一次取出三个球,记随机变量是取出球的最大编号与最小编号的差,数学期望为E,方差为D(),则下列选项正确的是()A.E=2,D=0.6B.E=2,D()=0.4C.E()=3,D=0.4D.E=3,D=0.6【解析】选D.从5个球中取3个球,共有=10种取法,其组合分别为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),所以随机变量的可能取值为4,3,2,P(=4)=,P(=3)=,P(=2)=.所以E()=4+3+2=3,D()=(4-3)2+(3-3)2+(2-3)2=0.6.二、填空题(每小题5分,共10分)7.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量X1,X2,已知E(X1)=E(X2),D(X1)D(X2),则自动包装机的包装质量较好.【解析】因为E(X1)=E(X2),D(X1)D(X2),故乙包装机的包装质量稳定.答案:乙8.若随机变量X的分布列如表,且E=2,则D(2X-3)的值为.X02aPp【解析】由题意可得:+p+=1,解得p=,因为E(X)=2,所以0+2+a=2,解得a=3.所以D(X)=(0-2)2+(2-2)2+(3-2)2=1.所以D(2X-3)=4D(X)=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知随机变量X的分布列为X01xPp若E=.(1)求D的值;(2)若Y=3X-2,求D的值.【解析】(1)由题意可得+p=1,得p=,又E=0+1+x=,解得x=2.所以D=+2-2=.(2)因为Y=3X-2,所以D=D=9D=9=5.10.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表:降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率;(2)工期延误天数Y的均值与方差.【解析】(1)由题意可得P=1-P(X300)=1-0.3=0.7,X300且工期延误不超过6天的概率为P=P=P(X900)-P=0.9-0.3=0.6,因此,在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率为P=;(2)由题意可知P=0.3,P=P-P=0.7-0.3=0.4,P=P-P=0.9-0.7=0.2,P=1-P=1-0.9=0.1.所以,随机变量Y的分布列如表所示:Y02610P0.30.40.20.1所以E=00.3+20.4+60.2+100.1=3,D=0.3+0.4+0.2+0.1=9.8.所以,工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.已知的分布列为-101P则在下列各式,E()=-;D()=;P(=0)=中,正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由题意,根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得:E=(-1)+0+1=-,所以正确;D=+=,所以不正确;又由分布列可知P(=0)=,所以正确.2.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为2,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)C.E(1)=E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)【解析】选B.1可能的取值为0,1,2;2可能的取值为0,1,P=,P=,P=1-=,故E(1)=,D(1)=02+22+12-=.P=,P=,故E(2)=,D(2)=02+12-=,故E(1)=E(2),D(1)D(2).3.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2,D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.4+(2-2)20.1+(3-2)20.2+(4-2)20.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.4.已知a,bR,随机变量X,Y的分布列是X-101PabY-101Pab则随着a的增大,D()A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大【解析】选C.由题意得a+b=,即b=-a,所以E(X)=(-1)+0a+1b=b-=-a,D(X)=+a+b=+aa-2+-a=-a2-a+,E(Y)=(-1)a+0b+1=-a,D(Y)=a+b+=a+=-a2+a+,因为X,Y相互独立,所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)=-2a2+a+=-2+,因为0a,所以当0a时,D(X+Y)随a的增大逐渐增大;当a时,D(X+Y)随a的增大逐渐减小.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知随机变量的分布列为:123P0.5xy若E()=,则D()=.【解析】由E()=10.5+2x+3y=,整理得:2x+3y=,又由0.5+x+y=1,即x+y=,所以x=,y=,D()=0.5+=.答案:6.已知不透明口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X,则X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.【解析】依题意可知X的可能取值为1,3,且P=,P=.故X的分布列为X13P所以E=1+3=,D=+=.答案:7.已知随机变量X的分布列为X012Pa2ab当D(X)最大时,E(X)=.【解析】由题知b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,D(X)=(4a-2)2a+(4a-1)22a+(4a)2(1-3a)=-16a2+6a,故当a=时D(X)最大,此时E(X)=.答案:8.随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3),其中a是常数,则D=.【解析】由题意得+=a=a=1,则a=,所以P=,P=,P=,则E(X)=+=,D(X)=+=,所以D(aX)=a2D(X)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.20.30.30.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为300元;分4期或5期付款,其利润为400元,表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P;(2)求的分布列、期望和方差.【解析】(1)购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”,知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.P=0.512,所以P=1-P=1-0.512=0.488;(2)根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元,300元,400元.得到变量对应的事件的概率P=P=0.2,P=P+P=0.3+0.3=0.6,P=P+P=0.1+0.1=0.2,的分布列为200300400P0.20.60.2所以E=2000.2+3000.6+4000.2=300,所以D=0.2+0.6+0.2=4 000.10.今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A,B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为:X5%10%P0.80.2Y2%8%12%P0.20.50.3 (1)若在A,B两个项目上各投资100万元,和分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(),D();(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?(注:D=a2D(X)【解析】(1)由题知,的分布列分别为:510P0.80.22812P0.20.50.3所以E()=50.8+100.2=6,D()=0.8+0.2=4.E()=20.2+80.5+120.3=8,D()=0.2+0.5+0.3=12.(2)设在A,B两个项目上分别投资x万元,(200-x)万元,利润的方差和为f.则f=D+D=D()+D()=4+12=,可见,当x=150时,f=12为最小值.所以,在A,B两个项目分别投资150万元,50万元时,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是12.