云南省云南师范大学附属中学2021届高三数学适应性月考卷理.doc

云南省云南师范大学附属中学2021届高三数学适应性月考卷理

云南省云南师范大学附属中学2021届高三数学适应性月考卷理

年级：
姓名：

12

云南省云南师范大学附属中学2021届高三数学适应性月考卷（七）理
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数(i虚数单位)，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则集合的真子集的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为（ ）
A. 170 B. 180 C. 150 D. 160
4. 已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 命题p：存在实数a，使得对任意实数x，恒成立；命题q：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，，(，且)成等比数列，则点在平面直角坐标系内的轨迹位于（ ）
A. 第三象限 B. 第四象限
C. 第一象限 D. 第二象限
7. 方程有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数(，)的图象上相邻两个最值点间的距离为5，且过点，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移1个单位 B. 向左平移1个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
9. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ）
A. 庚子年 B. 辛丑年 C. 己亥年 D. 戊戌年
10. 在正方体中，三棱锥的内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，当且时，方程根的个数是（ ）
A. 7 B. 6 C. 9 D. 8
12. 已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C交于不同两点M，N，且M，N都在以为圆心的圆上，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若实数x，y满足则不等式组表示的平面区域的面积为___________.
14. 已知点O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于___________.
15. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________.
16. 设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
（1）求角B；
（2）若，且的面积等于，求的值.
18. 支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：
每周使用支付宝次数
1
2
3
4
5
6及以上
40岁及以下人数
3
3
4
8
7
30
40岁以上人数
4
5
6
6
4
20
合计
7
8
10
14
11
50
（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？

不喜欢使用支付宝
喜欢使用支付宝
合计
40岁及以下人数

40岁以上人数

合计

（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.
①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；
②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X(单位：元)，求X的数学期望.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828

19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，平面，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
20. 已知抛物线上一点到焦点的距离是4.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任作直线交抛物线于两点，交直线于点，是的中点，求的值.
21. 已知函数.
（1）若，当时，讨论的单调性；
（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.
22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若为平面直角坐标系中的一点，Q为C上的动点，求的中点M到直线l的距离的最大值.
23. 已知函数.
（1）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，，求证：.

云南师范大学附属中学2021届高三第七次月考
理科数学试卷（答案版）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数(i虚数单位)，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 已知集合，则集合的真子集的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
3. 某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为（ ）
A. 170 B. 180 C. 150 D. 160
【答案】A
4. 已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 命题p：存在实数a，使得对任意实数x，恒成立；命题q：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
6. 若，，(，且)成等比数列，则点在平面直角坐标系内的轨迹位于（ ）
A. 第三象限 B. 第四象限
C. 第一象限 D. 第二象限
【答案】B
7. 方程有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 已知函数(，)的图象上相邻两个最值点间的距离为5，且过点，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移1个单位 B. 向左平移1个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】A
9. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ）
A. 庚子年 B. 辛丑年 C. 己亥年 D. 戊戌年
【答案】B
10. 在正方体中，三棱锥的内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
11. 已知函数，当且时，方程根的个数是（ ）
A. 7 B. 6 C. 9 D. 8
【答案】D
12. 已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C交于不同两点M，N，且M，N都在以为圆心的圆上，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若实数x，y满足则不等式组表示的平面区域的面积为___________.
【答案】4
14. 已知点O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于___________.
【答案】
15. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________.
【答案】
16. 设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
（1）求角B；
（2）若，且的面积等于，求的值.
【答案】（1）；（2）.
18. 支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：
每周使用支付宝次数
1
2
3
4
5
6及以上
40岁及以下人数
3
3
4
8
7
30
40岁以上人数
4
5
6
6
4
20
合计
7
8
10
14
11
50
（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？

不喜欢使用支付宝
喜欢使用支付宝
合计
40岁及以下人数

40岁以上人数

合计

（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.
①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；
②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X(单位：元)，求X的数学期望.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828

【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）①；②.
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，平面，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
20. 已知抛物线上一点到焦点的距离是4.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任作直线交抛物线于两点，交直线于点，是的中点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
21. 已知函数.
（1）若，当时，讨论的单调性；
（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若为平面直角坐标系中的一点，Q为C上的动点，求的中点M到直线l的距离的最大值.
【答案】（1）：，：；（2）.
23. 已知函数.
（1）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.