毕业设计-脑电信号预处理方法研究.doc

(完整word版)毕业设计-脑电信号预处理方法研究-马孝龙本科毕业设计（论文）脑电信号预处理方法研究马孝龙燕 山 大 学2013 年  6 月本科毕业设计（论文）脑电信号预处理方法研究学     院： 信息科学与工程学院专     业：   通信工程                                        学生姓名：     马孝龙                                    学     号：   090104030059                            指导教师：      李段                                    答辩日期：    2013-6-24                                    燕山大学毕业设计（论文）任务书学院：信息科学与工程学院               系级教学单位：电子与通信工程学号090104030059学生姓名马孝龙专 业班 级通信2班题目题目名称脑电信号预处理方法研究题目性质1.理工类：工程设计 （    ）；工程技术实验研究型（    ）；理论研究型（    ）；计算机软件型（    ）；综合型（    ）2.管理类（    ）；3.外语类（    ）；4.艺术类（    ）题目类型1.毕业设计（    ）      2.论文（    ）题目来源科研课题（    ）   生产实际（    ）自选题目（    ） 主要内容在头皮脑电信号采集过程中，极易受到各种噪声干扰。由于脑电信号的非线性、非平稳、宽频带特性，这些干扰信号往往与有用信号混叠。如何消除原始脑电数据中的噪声，以更好地获取反映大脑活动和状态的有用信息是进行脑电分析的一个重要前提。本课题要求研究脑电信号的预处理方法，设计一种算法去除包括眼电在内的噪声信号，并仿真实现。基本要求1. 熟悉现有的脑电信号预处理方法2. 设计去噪算法3. 算法编程实现参考资料1  V Krishnaveni, Removal of ocular artifacts from EEG using adaptive thresholding of wavelet coefficients, Journal of Neural Engineering, 2006(3):338-3462  Matlab 6.x 信号处理  邹 鲲等编著，清华大学出版社  2002.53  中国期刊网、Elservier文章及其它网上资源周 次第1 4周第57周第811 周第1215 周第1618 周应完成的内容收集资料查找参考书熟悉课题内容及研究现状编程语言熟悉算法的确定与细节理解编程调试算法优化实验结果整理及其总结论文书写课题总结答辩指导教师：李段职称：讲师         2013年3月 4日系级教学单位审批：胡正平                     2013 年 3 月 5 日摘要脑电信号(EEG)是脑神经细胞电生理活动在大脑皮层或头皮表面的总体反映，其中包含了大量的生理和病理信息,并可以用许多特征量来描述其特征信号。通过脑电分析来认识脑的活动是一种有效的无创手段。但是，脑电信号中常常混杂有多种噪声，为了便于阅读和分析脑电信号，必须对脑电信号进行去噪处理。本文针对脑电信号中的眼电伪迹去除的问题，采用了小波阈值法对脑电信号进行去噪处理。以小波阈值降噪为基础，本文采用db5小波对脑电信进行5尺度分解，其次在对应的子带上采用软阈值法，且阈值原则为对数长度阈值法对小波进行阈值去噪，然后对去噪后的信号进行重构，最后比较原始信号和去噪后的信号。实验结果表明，用小波阈值法可以有效去除脑电信号中的眼电干扰。关键词 脑电信号; 小波变换; 去噪IAbstractThe Electroencephalograph (EEG) is the electro physiological activity of brain cells, it is reflected in the overall pallium or scalp surface, which contains a large number of physiological and pathological information, and can describe the characteristic signal with many features. The EEG analysis to understanding brain activity is an effective noninvasive method. However, EEG is often mixed with a variety of noise, in order to facilitate the reading and analysis of EEG signal denoising, must carry on eeg.According to the problem that removing the EEG of ocular artifacts, this article uses the wavelet threshold denoising method to remove the eye electrical noise (EOG) interference in the EEG. Based on wavelet threshold denoising, firstly, this article selects the db5 wavelet scale decomposition of EEG of 5. Secondly, it uses soft threshold method in the corresponding subband. Then the soft threshold and wavelet reconstruction algorithm for denoising, and the threshold principle for the fixed threshold method of wavelet threshold denoising. Then reconstruct the signal after denoising. Finally, comparison of the original signal and the denoised signal. From the result of experiments, we can see that it is perfectly to remove the eye electrical noise (EOG) by using the wavelet threshold.KeywordsEEG; Wavelet transform; noise rejectionII目 录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.2 国内外研究现状与成果21.3本文研究内容与结构安排4第2章 小波变换在信号处理中的应用52.1 小波变换5  2.1.1 连续小波变换5  2.1.2 离散小波变换7  2.1.3 二进小波变换8  2.1.4 常用小波92.2 小波去噪12  2.2.1 尺度间相关性的去噪方法13  2.2.2 阈值去噪法142.3 MATLAB小波在信号去噪中的应用16  2.3.1 信号分解17  2.3.2 信号重构18  2.3.3 信号阈值去噪202.4 本章小结21第3章 眼电噪声去除方法研究243.1 脑电信号与眼电干扰简介243.2 小波阈值去噪原理263.3  参数选择273.3.1小波基的选择273.3.2 小波分解层数的选择283.4  实验结果仿真与分析283.5  本章小结33结论34参考文献37致谢39附录140附录245附录350附录455IV第1章 绪论1.1 课题背景大脑是一个非线性、非平稳的，且由大量神经元群相互连接形成的复杂动力学系统，人们获取大脑信息的手段基本上分为三种：通过脑结构的解剖图像获得静态的信息，例如广泛使用的电子计算机X射线断层扫描技术和磁共振成像；通过功能活动时的代谢活动图像而获得动态的信息，例如功能磁共振成像技术和正电子发射断层扫描；通过大脑对信息处理的反应而获得脑的动态信息，这类手段有局部场电位，脑电图和脑磁图。其中，EEG 是大脑组织中大量的神经元群突触后电流的在大脑皮层或头皮表面的综合表现，EEG 具有简易、无创、高时间分辨率等优点，脑电信号处理可以获取大量的功能与疾病信息，例如通过EEG检查，可以对癫痫、脑肿瘤、颅脑损伤、中枢神经系统疾病，以及精神疾病和智能障碍等疾病提供信息，从而对脑功能分析及疾病诊断、预后和治疗提供有效的方法；也可利用人对不同的感觉、运动或认知活动的脑电的不同，通过对脑电信号的有效的提取和分类达到某种控制目的。大脑皮层是大脑信息处理的中枢，约由个神经元组成，典型的神经元由细胞体、树突和轴突三部分组成，当神经元接受的其它神经元发来的信号的和超过阈值时，神经元就会发出神经脉冲，称作动作电位，神经元的轴突终末与其它神经元的接受表面形成各种突触，实现神经元间的信息交换，一个典型的神经元可能有1000-10000个突触，能接受来自1000个其它神经元的信息，突触后电位在其产生部位的附近按空间总和规律叠加起来，脑电信号就是由皮层内大量神经元突触后电位(包括兴奋性突触后电位和抑制性突触后电位两种)总和所形成的，是许多神经元共同活动的结果。随着信息科学的不断深入，脑科学的研究取得了新的进展。能够很好反应脑信息的脑电(electroencephalogram, EEG)是大脑神经元突触后电位的综合结果，是大脑活动产生电场经容积导体传导后在脑皮上的电位分布。现代的脑科学研究表明，多导的脑电信号蕴含着多种生理现象且能反映更多的动态信息。多导脑电信号就是从头皮上按照一定标准放置的多个电极处同步采集的电信号。因为脑电是通过安放在脑皮层不同位置的电极测量得到的，而电极之间的距离只有几厘米，所以这些电极不仅记录了脑内神经元电活动，同时也记录了各种干扰信号，如工频干扰、眨眼、眼球运动、心电干扰、呼吸波干扰和肌电干扰等等1,2。因此，为了得到真实的脑电数据，使之能够在临床上合理正确地做出判断，就必须对脑电测量数据进行预处理。1.2 国内外研究现状与成果 眼电信号是脑电信号的主要干扰源，它们能够改变脑电信号的电场分靠使获得的脑电信号不能真实的反映大脑的活动。眼电伪迹去除的基本原则是在保证脑电信号完整的前提下尽可能的去除眼电伪迹。这个基本原则是评价各种眼电伪迹去除方法的重要依据。目前，常用脑电信号去噪方法有独立分量分析(ICA)的脑电信号去噪方法,有主成分分析算法的脑电信号去噪方法，基于自适应滤波的脑电信号去噪方法,基于陷波器的脑电信号去噪方法,基于小波变换的脑电信号降噪方法等多种方法。 (1) 基于独立分量分析(ICA)的脑电信号去噪方法3,4  工频噪声、心电伪迹以及脑电波源信号之间的关系是统计独立的,满足ICA方法的分离条件,可将脑电信号去噪问题转化为独立分量分离问题,通过构造与工频噪声频率相同的正交正弦和余弦信号作为对工频噪声的参考信号,将构造的两个参考信号和心电信号以及含噪脑电信号作为ICA中混合矩阵的输入信号,采用收敛速度快的Fast ICA算法把脑电信号中的工频噪声和心电伪迹作为独立信号分离出去,得到去噪后的脑电信号。结果通过ICA方法对噪声进行分离后,脑电信号中的两种噪声基本被消除,并且可很好的保留脑电信号有用成分。(2) 基于主成分分析的脑电信号去噪方法  此算法去除眼电伪迹的基本思想是：假设脑电信号与眼电信号彼此正交，将原始数据投影到彼此正交的特征空间，从而实现原始信号的特征分离，识别并去除眼电伪迹，逆向投影恢复原始数据。(3) 基于陷波器的脑电信号去噪方法5,6  杨帮华等人共同提出基于陷波器和小波变换去除自发脑电信号噪声的方法。该方法是针对自发脑电信号的特点构造了一种零通小波，根据变换尺度参数与频率的对应关系，有选择地某些感兴趣的尺度信号以去除噪声。这种方法可以很好地去除工频干扰外的噪声信号，因此，进行小波去噪后，再结合陷波滤波器去除50Hz的工频干扰，这两种方法结合可以有效地去除干扰。(4) 基于自适应滤波的脑电信号去噪方法  早在20世纪40年代，就对平稳随机信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号和干扰噪声的统计特性，以线性最小均方误差估计准则所涉及的最佳滤波器，成为维纳滤波器。这种滤波器能最大限度的滤除干扰噪声，提取有用信号，然而，对随机非平稳的信号，它的实际应用受到了限制。1967年WdrowB.等提出了自适应滤波理论，可使自适应滤波系统的参数自动的调整而达到最佳状况，而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识，这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。考虑到脑电信号源的随机非平稳性，用自适应滤波方法去除脑电噪声很合适。到目前为止已有很多自适应滤波对脑电数据处理的研究成果，其中李翠芳等人共同提出基于小波分析的EEG信号自适应去噪的应用7。根据短时动态信号与平稳背景噪声的特征区别，对输入信号进行白化预处理，以时间序列的AR模型理论为依据，导出背景噪声白化滤波器的结构。将小波变换与自适应滤波器相结合，对经白化处理后的信号进行自适应去噪。(5) 基于小波变换的脑电信号降噪方法8,9   近年来，随着电子技术的迅猛发展，信息获取的手段、进度、速度都有很大的提高。特别是非平稳信号分析理论上的一系列重大进展为非平稳信号提出了新的处理与分析手段。小波分析理论则是这一系列重大进展中的一个。它不仅继承和发展了窗口傅里叶变换的局部化思想,而且克服了窗口大小不随频率变化, 缺乏离散正交基的缺点。小波变换在时间和频率上都有很好的局部性，在分析低频信号时，其时间窗很大，而在分析高频信号时，时间窗很小，这使得小波变换非常适合于时频分析。小波变换对于信号的高频成分使用逐渐尖锐的时间分辨率以便移近观察信号的快变成分，对于低频成分使用逐渐尖锐的频率分辨率以便移近观察信号的慢变成分（整体变化趋势）。借助时频局部分析性，小波分析理论已经成为信息去噪处理的一个重要工具。 目前，小波分析消噪的方法2,5大概可以分为三大类：第一类方法是对含噪信号做小波变换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号；第二类方法是基于小波变换模极大值原理，最初由Mallat提出，即根据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用余下的模极大值点重构小波系数，进而恢复信号；第三类方法是Donoh提出的阈值方法。该方法认为信号对应的小波系数包含有信号的重要信息，幅值较大，但数目较少；噪声对应的小波系数则是均匀分布的，个数较多，但幅值较小。基于此思想，把绝对值较小的系数置零，而让绝对值较大的系数保留或者收缩(分别对应于硬闽值法和软阈值法)，得到估计小波系数。此方法在Besov空间上可以得到最佳估计值，所以成为目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。小波分析属于时频分析的一种，是从傅里叶分析中发展而来的，但是又优于傅里叶分析。而作为傅里叶分析思想发展的小波分析方法是一种窗口大小，即窗口面积固定、但窗口的形状可变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，在时频域都有表征信号局部特征的能力，具有多分辨分析的特点。1.3本文研究内容与结构安排本文首先介绍了脑电信号的背景知识，然后介绍了小波理论并利用阈值法滤除脑电信号中的眼电干扰，通过编程成功完成信号分解、去噪、重构等内容。论文第1章为绪论，介绍了脑电信号的特点、性质、分类，小波变换的由来，以及本课题研究的主要内容和意义；第2章就小波变换在信号处理方面的知识加以介绍，为课题后续研究打下基础。第3章分析了已有方法，比较优劣，并提出了基于小波变换的脑电信号预处理研究方法，以及对脑电信号中夹杂的眼电信号的阈值法去噪。30第2章 小波变换在信号处理中的应用小波变换的概念是1984年法国地球物理学家J. Morlet在分析处理地球物理勘探资料时提出的。小波变换的数学基础的19世纪的傅立叶变换，其后理论物理学家A. Grossman 采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。1988年比利时数学家I. Mallat 提出了多分辨率分析的概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向实用化。小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好的解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域都具有很好的局部化性质。对信号中的低频成分采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频成分采用窄的时间窗，得到低的频率分辨率。小波变换的这种适应性，使它在工程技术和信号处理方面得到了广泛的应用。2.1 小波变换2.1.1 连续小波变换设函数,满足下述条件              (2-1)称为基本小波。引入尺度因子a和平移因子b, a和b满足： 将基本小波进行伸缩和平移，得到下列函数族         (2-2)称为分析小波。系数为归一化常数，它使得所有对尺度a和位移参数b，下式成立     (2-3)通常取，其意义的具有单位向量。函数的连续小波变换(CWT)定义为               (2-4)式中， 为共轭函数，若为实函数，则。若基本小波满足下述条件：            (2-5)则连续小波变换CWTa,b存在逆变换，逆变换公式为            (2-6)                 (2-7)称式（2-5）为容许条件，称满足容许条件的小波为容许小波。 (1)，线性连续小波变换是线性变换，即一个函数的连续小波变换等于该函数的分量的变换和。公式如下：则                         CWT=CWT1+WT2(2)，时移性则                       (3)，时标定理(4)，微分运算           (2-8)(5)，能量守恒              (2-9)(6)，冗余度连续小波变换是把一维信号变换到二维空间，因此小波变换中存在多余信息，成为冗余度(Redundancy)。因而小波变换公式不是唯一的。从分析小波角度看，是一族超完备基函数，他们之间是线性相关的。度向量冗余度成为再生核，     (2-10)再生核就是小波本省的变换。 再生核度量了小波变换二维空间里两点与之间的相关性大小。再生核K作用于小波变换CWTa,b,仍得到CWTa,b(2-11)2.1.2 离散小波变换信号的连续小波变换为对尺度因子a和平移参数b进行如下的离散采样：则小波变为离散小波变换定义为                                 (2-12) 写成内积的形式有       (2-13)对于离散小波做如下三点说明：等Q结构离散化 由于基本小波的等Q性质，对参数也做等Q结构离散化，即a增大时，a的间隔也增大，所以取，a延时时间也增大，故取b为。参数离散化的小波为       (2-14)离散小波变换实际上仍然是一系列带通滤波器，只是带通滤波器的中心频率也带宽由于a的离散采样率而为一系列的离散值。但仍然保持恒Q性质。滤波后的输出也因的离散采样率而为离散值。离散小波的重构。根据前述框架理论结果，当为框架时，可由离散小波变换恢复出原信号f(t),其重构公式为       (2-15)为的对偶框架，而    (2-16)离散小波的冗余性。离散小波框架存在冗余性，所以离散小波变换的冗余变换。但是，当框架界A=B=1时，就成了的正交基。这时，信号f(t)的离散小波变换就相当于正交分解，称为正交离散小波变换，它是无冗余变换。2.1.3 二进小波变换在离散小波变换中，一种方便的离散方法是取a0=2，所得到的小波和小波变换称为二进小波和二进小波变换。如果再去b0=1.称其为二进正交小波和二进正交小波变换。设，若存在常数A和B，使得                     (2-17)则称为二进小波。条件(2-17)成为稳定条件。若A=B，则称为最稳定条件。二进小波是容许小波。对于二进小波、的二进正交小波变换定义为               (2-18)很容易得到的傅立叶变换为                    (2-19)利用式(2-17)和(2-18)有：           (2-20)式(2-19)表明二进小波的框架。根据框架理论结果，二进小波变换可重构为f(t)。由框架重构公式知道，需要再给出重构小波，为此定义下述方程：                   (2-21)式中为重构小波，通常取为因此下面给出二进小波的重构公式         (2-22)二进正交小波变换设，且满足             (2-23)为正交二进小波。尺度因子和平移参数按二进制离散， ，二进正交小波变换为                 (2-24)2.1.4 常用小波小波分析的基（小波函数）不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作为小波函数，那么小波函数的选取就成了十分重要的问题，实际选取小波的标准主要有一下三种：(1) 自相似原则：如果选择的小波对信号有一定相似性，则变换后的能量就比较集中，可以有效减少计算量。(2) 判别函数：针对某类问题，找出一些关键性的技术指标，得到一个判别函数，将各种小波函数代入其中，得到一个最优准则。(3) 支集长度：大部分应选择支集长度在59之间的小波，因为支集长度太长会产生边界问题，支集太短则不利于能量集中。下面介绍几种常用的小波：Harr小波是小波分析发展过程中用的最早的小波，也是最简单的小波（如图2-1所示），Haar小波是一组正交归一的函数集，是一个时域不连续的二进制小波函数，其解析式表示如下：                                         Daubechies小波是由著名的小波学者Ingrid Daubechies创造的，她发明的紧支集小波是小波领域的里程碑，使得小波的研究由理论转入实践。Daubechies小波简写为dbN，其中N表示阶数，db是小波名字的前缀，它在时域上具有有限支撑。支集长度和滤波器长度都是2N左右，消失矩为N，可见这个序列的小波扩展性比较好，可以比较灵活的权衡增加支集长度带来的边界问题。函数图形如图2-2。Coiflet小波 Daubechies提出的另一个小波系，有更长的直接支集长度（6N-1）和更大的消失矩阵(2N)，对称性比较好。其函数图形如图2-3.Morlet小波 Morlet小波是一个具有解析表达式的小波 (如图2-4)，但它不具备正交性，所以只能满足连续小波的可允许条件，不存在紧支集，不能做离散小波变换和正交小波变换。其解析表达式为：                        （2-26）墨西哥帽（Mexican Hat）小波 墨西哥帽小波又称为Marr小波(如图2-5)，类似于Morlet小波。它同样具有解析表达式，但不存在尺度函数，不具有正交性。它是高斯函数的二阶导数（加负号），在时域和频域都有很好的局部化特性。其解析表达式为：                               （2-27）图2-1 Harr小波函数图图2-2  db5小波函数  图2-3  coif3小波函数图2-4  morl小波函数图2-5 墨西哥草帽小波表2-1 几种小波基函数的主要性质小波函数HarrDaubechiessymletsmorlet正交性有有有无双正交性有有有无紧支撑性有有有无支撑长度12N-12N-1有限长度对称性对称近似对称近似对称对称消失矩阶数1NN无2.2 小波去噪一般来说，实际采集到的信号都带有噪声，在对信号进行进一步处理之前，需要将有效的信号提取出来。由于噪声的存在，有用信号常常被淹没在强大的噪声之中，因此，去噪和滤波就成了信号处理中的一个重要的内容。目前，人们根据噪声的统计特性和频谱分布规律，开发了多种多样的信号去噪方法。小波去噪法就是其中的一大类，且小波变换具有低熵性、多分辨率性质、去相关性、小波基选择多样性，这为其取得广泛应用打下了坚实的基础。信号去噪的准则有两个：(1) 光滑性 在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。(2) 相似性 降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的最小值。2.2.1 尺度间相关性的去噪方法信号与噪声的小波变换模极大值在不同尺度下具有不同的传播特性，即，信号的小波变换模极大值随着尺度的增大而增大，噪声的小波变换随着尺度的增大而见效，根据这一事实，小波变换模极大值去噪方法通过区分各尺度下信号的模极大值与噪声的模极大值，也就是利用小波变换模极大值直接检测信号的边缘，实现去噪根据信号与噪声的小波变换在不同尺度间的不同传播特性，可以降相邻小波系数直接相乘来增强信号，抑制噪声。基于这一原理，人们提出了利用小波变换相关性区分信号与噪声来完成去噪的方法，简称SSNF(Spatially  Selective Noise Filtration)方法。定义2.1 称             (2-28)通常将式(2-28)简写为            (2-29)为使相关系数与小波系数具有可比性，需要定义规范化相关系数。定义2.2 称        (2-30)为的规范化相关系数，其中                 (2-31)                (2-32)分别表示对应于尺度j 的小波系数的能量。在尺度j 下，小波系数与规范化系数具有相同的能量，写为它们之间提供了可比性。下面以尺度j=1为例说明SSNF是如何区分该尺度下的信号与噪声的。(1) 对n=1，2，N，通过比较NCor(1, n)和W(1, n)的绝对值，提取信号的边缘信息。如果|NCor(1, n)|W(1, n)|，则意味着相关运算的结果使该点所对应的小波变换的幅值增大，从而认为该点n处的小波变换是由信号控制的；这时将该点的小波系数W(1, n)赋值给相应的位置以存储，然后将该点的小波系数W(1, n)和相关系数Cor(1, n)都置0。否则，如果，则认为点n处的小波变换由噪声控制，这时对应点的W(1, n)和Cor(1, n)保持不变。(2)提取信号边缘后，小波系数W(1, n)和相关系数Cor(1, n)依次变为W(1,n )和Cor(1, n)，根据式(2-31)和(2-32)计算出W(1,n )和Cor(1, n)的能量PW(1, n)和PCor(1, n)，再由式(2-30)计算出规范化相关系数NCor(1, n)，然后将NCor(1, n)与W(1, n)进行比较，提取次等重要的边缘点。以上相关系数规范化，数据比较和边缘提取的过程可以递归，直到   W(1, n)中尚未被抽取的点能量近似等于该尺度下的噪声阈值为止。2.2.2 阈值去噪法基于小波阈值消噪处理的方法通常包括3 个步骤：首先是将信号进行小波变换，得到小波系数；然后在小波变换域上利用信号与噪声的不同特性，对小波变换进行阈值化处理，把噪声从信号中区分开来(主要是对高频系数进行阈值化处理)；最后是利用重构算法重构信号。小波分解去噪的效果主要取决于对含噪信号的噪声估计方法以及所采用的小波函数。小波变换具有一些良好的特性：(1) 低熵性：小波系数稀疏分布，使信号变换好偶的熵降低；(2) 多分辨率特性：可以非常好地刻画信号的非平稳特性，如边缘、尖峰、断点等；(3) 去相关性：可提取信号的相关性，且噪声在小波变换后有白化趋势，所以比时域更利于去噪；(4) 选基灵活性：由于小波变换可以灵活多变选择基函数，因此可根据信号的特点选择合适的小波。小波在信号去噪领域已得到越来越广泛的应用。阈值去噪方法是一种简单、效果较好的小波去噪方法。阈值去噪方法的思想就是对小波分解后的各层细数中模大于和小于某阈值的系数分别处理，然后对处理完的小波函数在进行反变换，重构出经过去噪后的信号。阈值化处理的方法一般有三种：(1) 强制消噪处理。该方法把小波分解结构中的高频系数全变为0，即把高频部分全部滤除掉，然后再对信号进行重构处理。这种方法比较简单，重构后的消噪信号也比较平滑，但容易丢失信号的有用成份。(2) 默认阈值消噪处理。这种方法利用软件直接生成一个阈值，然后用软件进行消噪。(3) 给定软(或硬)阈值消噪处理。在实际的消噪处理过程中，阈值往往可以通过经验公式获得，而且这种阈值比默认阈值更具有可信度。在第三种方法中，软阈值处理是把信号的绝对值与阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为0，大于该值的点变为该点值与阈值的差值。硬阈值处理是把信号的绝对值与阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为0，大于阈值的点保持不变。一般说来，用硬阈值处理后的信号比用软阈值处理后的信号更为粗糙。下面从阈值函数和阈值估计两方面对阈值去噪方法进行介绍。常用的阈值函数主要是硬阈值函数和软阈值函数。(1) 硬阈值函数。表达式为如图2-6所示，其中横坐标表示信号的原始小波系数，纵坐标表示阈值化后的小波系数。(2) 软阈值函数。表达式为，如图2-7所示，其中横坐标表示信号的原始小波系数，纵坐标表示阈值化后的小波系数。()-TT图2-6  硬阈值函数()-TT图2-7  软阈值函数Donoho在1994年提出了VisuShrink方法(或称统一阈值去噪方法)。它是针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋于无穷大时得出的结论，在最小最大估计的限制下得出的最优阈值。阈值选择满足：                      (2-33)其中是噪声标准方差，N是信号的长度。Donoho给出了证明这种估计在信号属于Besov集时，在大量风险函数下获得近似理想方法的去噪风险。Donoho的统一阈值方法在实际应用中效果欠理想，产生过扼杀现象，1997年Janse提出了一种无偏估计的阈值算法。风险函数的定义为：。由于小波变换的正交性，风险函数可以同样在小波域中写成形式。设 ,则   (2-34)最后可得到风险函数的表达式：           (2-35)其中是示性函数，I为两数取小。于是，最佳的阈值选择可以通过最小化分线函数得到，即                  (2-36)2.3 MATLAB小波在信号去噪中的应用作为一种时频局部化方法，小波变换的窗口是可变的。也就是说，小波变换在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率，具有对信号的自适应性，因而被广泛地应用于信号分析。由于小波变换具有局部分析和细化的功能，所以小波分析能揭示信号的间断点、趋势和自相似性等性质。并且与传统的信号分析技术相比，小波分析还能在没有明显损失的情况下，对信号进行消噪和压缩。本节讲较为详细的介绍MATLAB小波在信号处理中的应用。2.3.1 信号分解对于任意的函数的连续小波变换如下：        (2-37)从连续小波变换的定义可以看出，连续小波变换具有尺度因子a和平移参数。其中尺度1/a在一定意义上对应于频率，即尺度越小，对应频率越高，尺度越大，对应频率越低。通过对信号进行连续小波变换，可以对信号进行时频分析，即观察信号在某一时间上，对应于某一尺度a的成份。为了降低小波变换的系数冗余度，将小波函数的限定在一些离散的点上取值，即可得到离散小波变换函数           (2-38)相应的离散小波变换可表示为          (2-39)MATLAB实现了信号的单尺度一维离散小波变换、信号的多尺度一维离散小波变换以及提取信号的多尺度离散小波分解的高频和低频系数。(1) 多尺度一维离散小波变换MATLAB中实现多尺度离散小波变换的函数为wavedec，其调用格式为：C,L=wavedec(X, N, wname)C,L=wavedec(X, N, Lo_R, Hi_R)其中，N为尺度，且必须为整数，wname为小波名称，Lo_R和Hi_R分别为分解的低通和高频滤波器。输出参数C由cAj,cDj,cDj-1,cD1组成，L由cAj的长度，cDj的长度，cDj-1的长度，cD1的长度组成。例如，一个三尺度的分解结构的组织形式如图2-8所示。图2-8 五尺度分解的组织形式cA3XcD1cD3cA1cA2cD2cA4cD4cA5cD5(2) 提取多尺度小波变换的低频系数MATLAB中实现提取多尺度小波变换的低频系数的函数为appcoef,其调用格式为A= appcoef (C, L, wname)A=appcoef (C, L, Lo_R, Hi_R)A=appcoef (C, L, wname ,N)A=appcoef(C, L, Lo_R, Hi_R, N)式中，wname为所调用的小波函数，Lo_R和Hi_R分别为分解低通滤