黑龙江省安达市第七中学校2021届高三数学2月线上测试试题.doc

黑龙江省安达市第七中学校2021届高三数学2月线上测试试题

黑龙江省安达市第七中学校2021届高三数学2月线上测试试题

年级：
姓名：

- 14 -

黑龙江省安达市第七中学校2021届高三数学2月线上测试试题

一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
2.设复数，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知等比数列的公比，且，则（ ）
A．-1 B． C．1 D．
4.下表为2020年1~6月全国规模以上工业企业各月累计利润率，若与具有线性相关关系，且同归方程为，且由数据可得，则（ ）
月份
1~2
1~3
1~4
1~5
1~6
月份代码x
1
2
3
4
5
累计利润率y(%)
3.54
3.94
4.45
5.00
5.42
A．， B．，
C．， D．，
5.已知点O为坐标原点，点为抛物线的焦点，动直线与抛物线C交于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6.中，点为边上动点，且，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7.展开式中的常数项为（ ）
A．11 B．19 C．23 D．-11
8.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，下图是各国公布的2020年第二季度国内生产总值(GDP)同比增长率，现从这8个国家中任取4个国家，则这4个国家中第二季度GDP同比增长率至少有2个不小于-15%的概率为（ ）

A． B． C． D．
9.矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
10.已知函数，若存在，使得恒成立．则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知过双曲线左焦点的直线l与双曲线C的右支有公共点，且与圆相切，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，给出下列结论：
①的图象关于直线对称；②的值域为；③在上是减函数；④0是的极大值点．其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
二、填空题
13.曲线在处的切线方程为________．
14.已知实数满足，则的取值范围为______．
15.已知为等差数列的前n项和，若，则________．
三、解答题
16.已知数列的前项和为，若，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17.已知中，角A为锐角且角所对的边分别为
．
（1）求A；
（2）若点D在边上，且，且，求面积的最大值．
18.如图，在三棱锥中，，，．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.蚂蚁森林是支付宝推出的公益活动，用户可以通过步行、在线缴费等减排行为获得积分．参与在荒漠化地区种树，该公益活动曾获得联合国“地球卫士奖”．蚂蚁森林2016年8月在支付宝上线．截止2020年8月，5.5亿蚂蚁森林用户一起累计种下超过2.2亿颗真树．用户通过蚂蚁森林一年种植3棵树，可获得当年度全民义务植树尽责证书．某高校学生会调查了该校100名学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的情况．已知这100名学生中有男生70名，男生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占男生总数，女生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占女姓总数．
（1）填写下列列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的性别与通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书有关系？

男生
女生
合计
获得2020年度全民义务植树尽责证书

未获2020年度得全民义务植树尽责证书

合计

（2）2020年该高校参与了蚂蚁森林高校公益林活动，学校师生踊跃为公益林浇水，该校某寝室6位同学在某段时间的内的浇水量（单位：）分别为：18，22，20，28，17，33，求这6位同学浇水量的平均数与方差．
附：

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
，．
20.已知椭圆的左焦点为F，点，三等分椭圆C的短轴，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A作与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于点，椭圆C上是否存在点P，使得恒有？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
21.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，判断的零点个数．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求的普通方程，的直角坐标方程；
（2）判断曲线与圆的公共点个数．
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知．
（1）求不等式的解集；
（2）已知，若存在，使得，求的最大值．
参考答案
1.答案：A
解析：因为或，所以.
2.答案：A
解析：，所以.
3.答案：D
解析：
4.答案：A
解析：由y与x正相关得，由题意得，．由在回归直线上得．
5.答案：B
解析：
6.答案：D
解析：
7.答案：C
解析：展开式中的常数项为.
8.答案：D
解析：
9.答案：D
解析：如右图，因为，异面直线与所成角就是或其补角，
在中，，，
在左图中作，垂足为O，则，，
所以，
所以．

10.答案：A
解析：存在，使得，首先应满足，此时时，时，所以，解得．
11.答案：B
解析：
12.答案：B
解析：
13.答案：
解析：因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为，即.
14.答案：
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

由，得，
则直线经过点时，z取到最小值，，
直线经过点时，z取到最大值，，
所以的取值范围为．
15.答案：4
解析：由为等差数列的前项和，可得，所以.
16.答案：（1）因为，
所以，
因为，所以，
所以，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，，
当时，
所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以．
解析：
17.答案：（1）由及正弦定理得，即，即，
因为，，所以.
（2）因为点D在上，且，所以，
即，两边平方得，
即，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以面积，
所以面积的最大值为.
解析：
18.答案：（1）证明：过点作延长线的垂线，垂足为，连接，

由，得，
所以是二面角的平面角，
因为，，
则，，
因为，所以，
所以，
从而平面平面．
（2）如图所示，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，即，
取，得，
设是平面的一个法向量，则，即，
取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
解析：
19.答案：（1）列列联表：

男生
女生
合计
获得2020年度全民义务植树尽责证书
60
20
80
未获2020年度得全民义务植树尽责证书
10
10
20
合计
70
30
100
．
所以有95%的把握认为该校男生更喜欢通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书．
（2）这6位同学浇水量的平均数为，
方差为．
解析：
20.答案：（1）由点三等分椭圆C的短轴，得，
设，由得，即，
所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）设，直线方程为，
由整理得，
所以，，
设，则，

，
首先应满足，即，
当时，，且在椭圆C上，
所以满足C上存在点，使得恒有.
解析：
21.答案：（1）因为，
所以，
①当时，时，是减函数，时，是增函数，
②当时，时，是减函数，或时，是增函数，
③当时，，在上是增函数，
④当时，时，是减函数，或时，是增函数．
综上可得，当时在上是减函数，在上是增函数，时在上是减函数，在，上是增函数，时，在上是增函数，时，在上是减函数，在，上是增函数．
（2）由（1）知，时在上是减函数，在或上是增函数，
，
因为，，，
所以在上没有零点，
，
当且时，，，，
所以，所以在上没有零点．
综上可得，时的零点个数为0．
解析：
22.答案：（1）曲线的参数方程为，
消去参数得曲线的普通方程为．
，即，
由，，，得圆的直角坐标方程为，
即．
（2）由曲线方程为，
可知曲线表示以，为端点的线段（不包含点），
因为，，
所以点在圆外部，点在圆内部，
所以曲线与圆的公共点个数为1．
解析：
23.答案：（1）当时，即，解得；
当时等价于，解集为；
当时等价于，解得．
所以不等式的解集为．
（2）当时，当时取等号，
当时，
所以的最小值为，
若存在，使得，
所以，
因为，
所以，，当且仅当时取等号．
所以的最大值为．