全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数基本知识过关训练.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数基本知识过关训全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数基本知识过关训练练 单选题 1、已知函数()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，若函数()=()恰有两个零点，则实数m不可能是（）A1B0C1D2 答案：D 解析：依题意画出函数图象，函数()=()的零点，转化为函数=()与函数=的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；解：因为()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，画出函数图象如下所示，函数()=()的有两个零点，即方程()=()=0有两个实数根，即()=，即函数=()与函数=有两个交点，由函数图象可得 0或=1，故选：D 小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 2、已知函数()=,0(3)+4,0 满足对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，则a的取值范围为（）A(0,14B(0，1)C14,1)D(0，3)答案：A 分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为 R 上的减函数，则函数=在(,0)上是减函数，有0 1，函数=(3)+4在0,+)上是减函数，有 3 0，即 3，并且满足：0(0)，即4 1，解和 14，综上得0 0时，()=2+2，则(2)+(1)=（）A11B5C8D5 答案：B 分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数()，当 0时，()=2+2，所以(2)+(1)=(2)(1)=22+22(21+12)=5.故选：B 6、设4=3=36，则1+2=（）A3B1C1D3 答案：B 分析：先求出=log436,=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解.因为4=3=36，所以=log436,=log336，则1=log364,2=log369，所以则1+2=log364+log369=log3636=1.故选：B.7、我国在 2020 年 9 月 22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于 2030 年前实现碳达峰，争取在 2060 年前实现碳中和为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(120,500)之间的函数关系可近似表示为=133 802+5040,120,144)122 200+80000,144,500，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）A120B200C240D400 答案：D 分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分 120,144)和 144,500分析讨论求出其最小值即可 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为=132 80+5040,120,144)12 200+80000,144,500，当 120,144)时，=132 80+5040=13(120)2+240，当=120时，取得最小值 240，当 144,500 时，=12+80000 200 212 80000 200=200，当且仅当12=80000，即=400时取等号，此时取得最小值 200，综上，当每月得理量为 400 吨时，每吨的平均处理成本最低为 200 元，故选：D 8、将进货价为每个 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，每涨价 1 元，销售量就减少 20 个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（）A90 100B90 110C100 110D80 0，求的取值范围，即可得到的取值范围.设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，则=+90,=(10+)(400 20)10 400=202+200.要使商家利润有所增加，则必须使 0，即2 10 0，得0 10,90 +90 100，所以的取值为90 0,(13),0,若关于x的方程()=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A(,0)(0,1)B(,0)(1,+)C(,0)D(0,1)(1,+)答案：B 分析：利用换元法设=()，则等价为()=0有且只有一个实数根，分 0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.令()=，则方程()=0等价于()=0，当=0时，此时当 0时，()=(13)=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当 0，则()=(13)0，所以由()=log12=0，得=1，则关于x的方程()=0有且只有一个实数根等价于关于x的方程()=1有且只有一个实数根，作出()的图象如图：当 0时，要使直线=1与=()的图象只有一个交点，则只需要当 0时，直线=1与()=(13)的图象没有交点，因为 0 时，()=(13),+)，此时()最小值为，所以 1，综上所述，实数a的取值范围是(,0)(1,+)，故选：B.10、一种药在病人血液中的量不少于1500才有效，而低于500病人就有危险现给某病人注射了这种药2500，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg2 0.3010，lg3 0.4771，结果精确到0.1）A2.3小时 B3.5小时 C5.6小时 D8.8小时 答案：A 分析：根据已知关系式可得不等式500 2500 (1 20%)1500，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则500 2500 (1 20%)1500，整理可得：0.2 0.8 0.6，log0.80.6 log0.80.2，log0.80.6=lg0.6lg0.8=lg61lg81=lg2+lg313lg21 2.3，log0.80.2=lg0.2lg0.8=lg213lg21 7.2，2.3 7.2，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.11、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()=e描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln20.69)（）A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 答案：B 分析：根据题意可得()=0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为1天，根据0.38(+1)=20.38，解得1即可得结果.因为0=3.28，=6，0=1+，所以=3.2816=0.38，所以()=0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为1天，则0.38(+1)=20.38，所以0.381=2，所以0.381=ln2，所以1=ln20.380.690.38 1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.12、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型()=0e描述，假定某药物的消除速率常数=0.1（单位：h1），刚注射这种新药后的初始血药含量0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2 0.693,ln3 1.099）A5.32hB6.23hC6.93hD7.52h 答案：C 分析：利用已知条件()=0e=2000e0.1，该药在机体内的血药浓度变为 1000mg/L 时需要的时间为1，转化求解即可.解：由题意得：()=0e=2000e0.1 设该要在机体内的血药浓度变为 1000mg/L 需要的时间为1(1)=2000e0.11 1000 e0.1112 故0.1 ln2，ln20.1 6.93 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93 故选：C 填空题 13、设x，y为正实数，已知lg+3=lg+lg4，则+的值为_ 答案：7 分析：根据对数的运算法则及根式的运算法则计算可得.解：由lg+3=lg+lg4，可得lg(+3)4=lg，则(+3)4=，则(+3)2=，则+=7，两边同时除以得+=7 所以答案是：7 14、若3=2，则log29 log38用含x的代数式表示为_.答案：2 3#3+2 分析：将指数式3=2化为对数式=log32，再根据对数的运算性质可求出结果.因为3=2，所以=log32，所以log29 log38=log232 log323=2log23 3log32=2 3.所以答案是：2 3 15、函数()=ln+2 3的零点个数为_ 答案：1 分析：解法一，将函数()=ln+2 3的零点转化为函数=ln与=3 2图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.解法一：令()=0，可得方程ln+2 3=0，即ln=3 2，故原函数的零点个数即为函数=ln与=3 2图象的交点个数 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）由图可知，函数=3 2与=ln的图象只有一个交点，故函数()=ln+2 3只有一个零点，所以答案是：1 解法二：(1)=ln1+12 3=2 0，(1)(2)0,1)的反函数的图像经过点(4,2)，则=_ 答案：2 分析：根据指数函数与对数函数的关系求出()的反函数，再代入计算可得；解：因为函数()=(0,1)的反函数为=log，(0,1)，所以log4=2，即2=4，所以=2或=2（舍去）；所以答案是：2 解答题 18、如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽 2m，渠深为 1.8m，斜坡的倾斜角是 45（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()（m2）表示成水深（m）的函数；(2)当水深为 1.2m 时，求横断面中水的面积.答案：(1)()=2+2(0 1.8)(2)3.84m2 分析：（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.（1）依题意，横断面中的水面是下底为 2m，上底为(2+2)m，高为h m 的等腰梯形，所以()=2+(2+2)2 =2+2(0 1.8).（2）由（1）知，()=2+2(0 52 分析：（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；（2）根据单调性的定义即可证明函数()=+1在2,+)上单调递增，再根据单调性以及对数的性质log=1log即可比较出大小（1）因为log425=log25，所以=log52,log25,2，=log25,2，即 =log25因为log52 log525=2=log24 log25，所以=log52，=log25（2）设1,2为2,+)上任意两个实数，且2 1 2，则1 2 1，(1)(2)=(1+11)(2+12)=1 2+1112=(1 2)12112 0，即(1)(2)=52，所以log52+log25=1log25+log25=(log25)52 20、（1）已知12+12=3，计算：2+27+1+12+12；（2）设2=8+1，9=39，求+的值 答案：（1）4；（2）27 分析：（1）对12+12=3两边平方，求出+1=7，再对此式两边平方，化简可得2+2=47，从而代入可求结果，（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于,的方程组，求出,的值，从而可求得+的值（1）因为12+12=3，所以(12+12)2=9，所以+1+2=9，所以+1=7，所以(+1)2=72，即2+2+2=49，所以2+2=47，所以2+27+1+12+12=4777+3=4 （2）因为2=8+1，所以2=23(+1)，即=3(+1)又9=39，所以32=39，即2=9，由=3(+1)2=9，解得=21=6，故+的值为 27