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中考数学第一轮复习资料
目 录
第一章 实数
课时1.实数的有关概念…………………………………………( 1 )
课时2.实数的运算与大小比较……………………………( 4 )
第二章 代数式
课时3.整式及运算 ……………………………………………( 7 )
课时4.因式分解…………………………………………………( 10 )
课时5.分式 ……………………………………………………( 13 )
课时6.二次根式…………………………………………………( 16 )
第三章 方程(组)与不等式
课时7.一元一次方程及其应用 ……………………………( 19 )
课时8.二元一次方程及其应用 ……………………………( 22 )
课时9.一元二次方程及其应用………………………………( 25 )
课时10.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 …( 28 )
课时11.分式方程及其应用……………………………………( 31 )
课时12.一元一次不等式(组)………………………………( 34 )
课时13.一元一次不等式(组)及其应用……………………( 37 )
第四章 函数
课时14.平面直角坐标系与函数的概念……………………( 40 )
课时15.一次函数…………………………………………………( 43 )
课时16.一次函数的应用 ………………………………………( 46 )
课时17.反比例函数 ……………………………………………( 49 )
课时18.二次函数及其图像 …………………………………( 52 )
课时19.二次函数的应用 ……………………………………( 55 )
课时20.函数的综合应用(1) ………………………………( 58 )
课时21.函数的综合应用(2) ………………………………( 61 )
第五章 统计与概率
课时22.数据的收集与整理(统计1) ……………………( 64 )
课时23.数据的分析(统计2)………………………………( 67 )
课时24.概率的简要计算(概率1)…………………………( 70 )
课时25.频率与概率(概率2)…………………………………( 73 )
第六章 三角形
课时26.几何初步及平行线、相交线 ………………………( 76 )
课时27.三角形的有关概念 …………………………………( 79 )
课时28.等腰三角形与直角三角形 …………………………( 82 )
课时29.全等三角形 ……………………………………………( 85 )
课时30.相似三角形 ……………………………………………( 88 )
课时31.锐角三角函数 …………………………………………( 91 )
课时32.解直角三角形及其应用 ……………………………( 94 )
第七章 四边形
课时33.多边形与平面图形的镶嵌 …………………………( 97 )
课时34.平行四边形 ……………………………………………( 100 )
课时35.矩形、菱形、正方形…………………………………(103)
课时36.梯形 ……………………………………………………(106)
第八章 圆
课时37.圆的有关概念与性质 ………………………………(109)
课时38.与圆有关的位置关系…………………………………(112)
课时39.与圆有关的计算………………………………………(115)
第九章 图形与变换
课时40.视图与投影 ……………………………………………(118)
课时41.轴对称与中心对称……………………………………(121)
课时42.平移与旋转 ……………………………………………(124)
第一章 实数
课时1.实数的有关概念
【课前热身】
1.(2的倒数是 .
2.(白银)若向南走记作,则向北走记作 .
3.的相反数是 .
4.的绝对值是( )
A. B. C. D.
5.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7(毫米2),这个数用科学记数法表示为( )
A.7×10-6 B. 0.7×10-6 C. 7×10-7 D. 70×10-8
【考点链接】
1.有理数的意义
⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应.
⑵ 实数的相反数为________. 若,互为相反数,则= .
⑶ 非零实数的倒数为______. 若,互为倒数,则= .
⑷ 绝对值.
⑸ 科学记数法:把一个数表示成 的形式,其中1≤<10的数,n是整数.
⑹ 一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.这时,从左边第一个不是 的数起,到 止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.
2.数的开方
⑴ 任何正数都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根叫
_______________. 没有平方根,0的算术平方根为______.
⑵ 任何一个实数都有立方根,记为 .
⑶ .
3. 实数的分类 和 统称实数.
4.易错知识辨析
(1)近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字(3,0)精确到千分位;3.14×105是3个有效数字;精确到千位.3.14万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位.
(2)绝对值 的解为;而,但少部分同学写成 .
(3)在已知中,以非负数a2、|a|、(a≥0)之和为零作为条件,解决有关问题.
【典例精析】
例1 在“,3.14 ,,,cos 600 sin 450 ”这6个数中,无理数的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
例2 ⑴的倒数是( )
A.2 B. C. D.-2
⑵若,则的值为( )
A. B. C.0 D.4
⑶如图,数轴上点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
P
例3 下列说法正确的是( )
A.近似数3.9×103精确到十分位
B.按科学计数法表示的数8.04×105其原数是80400
C.把数50430保留2个有效数字得5.0×104.
D.用四舍五入得到的近似数8.1780精确到0.001
【中考演练】
1.-3的相反数是______,-的绝对值是_____,2-1=______, .
2. 某种零件,标明要求是φ20±0.02 mm(φ表示直径,单位:毫米),经检查,一个零件的直径是19.9 mm,该零件 .(填“合格” 或“不合格”)
3. 下列各数中:-3,,0,,,0.31,,2,2.161 161 161…,
(-2 005)0是无理数的是___________________________.
4.全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款,到6月3日止各地共捐款约423.64亿元,用科学记数法表示捐款数约为__________元.(保留两个有效数字)
5.若,则的值为 .
6. 2.40万精确到__________位,有效数字有__________个.
7.的倒数是 ( )
A. B. C. D.5
8.点A在数轴上表示+2,从A点沿数轴向左平移3个单位到点B,则点B所表示的实数是( )
A.3 B.-1 C.5 D.-1或3
9.如果□+2=0,那么“□”内应填的实数是( )
A. B. C. D.2
10.下列各组数中,互为相反数的是( )
A.2和 B.-2和- C.-2和|-2| D.和
11.16的算术平方根是( )
A.4 B.-4 C.±4 D.16
12.实数a、b在数轴上的位置如图所示,则a与b 的大小关系是( )
A.a > b B. a = b C. a < b D.不能判断
13.若x的相反数是3,│y│=5,则x+y的值为( )
A.-8 B.2 C.8或-2 D.-8或2
14. 如图,数轴上A、B两点所表示的两数的( )
A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数
A
B
O
-3
课时2. 实数的运算与大小比较
【课前热身】
1.某天的最高气温为6°C,最低气温为-2°C,同这天的最高气温比最低气温高__________°C.
2.(晋江)计算:_______.
3.(贵阳)比较大小: .(填“,或”符号)
4. 计算的结果是( )
A. -9 B. 9 C.-6 D.6
5.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
6.若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,
4!=4×3×2×1,…,则的值为( )
A. B. 99! C. 9900 D. 2!
【考点链接】
1. 数的乘方 ,其中叫做 ,n叫做 .
2. (其中 0 且是 ) (其中 0)
3. 实数运算 先算 ,再算 ,最后算 ;如果有括号,先算
里面的,同一级运算按照从 到 的顺序依次进行.
4. 实数大小的比较
⑴ 数轴上两个点表示的数, 的点表示的数总比 的点表示的数大.
⑵ 正数 0,负数 0,正数 负数;两个负数比较大小,绝对值大的
绝对值小的.
5.易错知识辨析
在较复杂的运算中,不注意运算顺序或者不合理使用运算律,从而使运算出现错误.
如5÷×5.
【典例精析】
例1 计算:
⑴20080+|-1|-cos30°+ ()3;
⑵ .
例2 计算:.
﹡例3 已知、互为相反数,、互为倒数,的绝对值是2,
求的值.
输入x
输出y
平方
乘以2
减去4
若结果大于0
否则
【中考演练】
1. 根据如图所示的程序计算,
若输入x的值为1,则输出y的值为 .
2. 比较大小:.
3.计算(-2)2-(-2) 3的结果是( )
A. -4 B. 2 C. 4 D. 12
4. 下列各式运算正确的是( )
A.2-1=- B.23=6 C.22·23=26 D.(23)2=26
5. -2,3,-4,-5,6这五个数中,任取两个数相乘,得的积最大的是( )
A. 10 B.20 C.-30 D.18
6. 计算:
⑴;
⑵;
⑶ .
﹡7. 有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子 (是正整数)来表示.有规律排列的一列数:,…
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?
(2)它的第100个数是多少?
(3)2006是不是这列数中的数?如果是,是第几个数?
﹡8.有一种“二十四点”的游戏,其游戏规则是:任取1至13之间的自然数四个,将这个四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算,使其结果等于2 4.例如:对1,2,3,4,可作运算:(1+2+3)×4=24.(注意上述运算与4 ×(2+3+1)应视作相同方法的运算.现“超级英雄”栏目中有下列问题:四个有理数3,4,-6,10,运用上述规则写出三种不同方法的运算,使其结果等于24,
(1)_______________________,(2)_______________________,
(3)_______________________.
另有四个数3,-5,7,-13,可通过运算式(4)_____________________ ,使其结果等于24.
第二章 代数式
课时3.整式及其运算
【课前热身】
1. x2y的系数是 ,次数是 .
2.计算: .
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 计算所得的结果是( )
A. B. C. D.
5. a,b两数的平方和用代数式表示为( )
A. B. C. D.
6.某工厂一月份产值为万元,二月份比一月份增长5%,则二月份产值为( )
A.·5%万元 B. 5%万元 C.(1+5%) 万元 D.(1+5%)
【考点链接】
1. 代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 连接而成的式子叫做代数式.
2. 代数式的值:用 代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系,计算后所得的 叫做代数式的值.
3. 整式
(1)单项式:由数与字母的 组成的代数式叫做单项式(单独一个数或 也是单项式).单项式中的 叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.
(2) 多项式:几个单项式的 叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .
(3) 整式: 与 统称整式.
4. 同类项:在一个多项式中,所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___.
5. 幂的运算性质: am·an= ; (am)n= ; am÷an=_____; (ab)n= .
6. 乘法公式:
(1) ; (2)(a+b)(a-b)= ;
(3) (a+b)2= ;(4)(a-b)2= .
7. 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则:把 、 分别相除后,作为商的因式;对于只在被除武里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
⑵ 多项式除以单项式的法则:先把这个多项式的每一项分别除以 ,再把所得的商 .
【典例精析】
例1 若且,,则的值为( )
A. B.1 C. D.
例2按下列程序计算,把答案写在表格内:
n
平方
+n
n
-n
答案
⑴ 填写表格:
输入n
3
—2
—3
…
输出答案
1
1
…
⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.
例3 先化简,再求值:
(1) x (x+2)-(x+1)(x-1),其中x=-;
(2) ,其中.
【中考演练】
1. 计算(-3a3)2÷a2的结果是( )
A. -9a4 B. 6a4 C. 9a2 D. 9a4
2.下列运算中,结果正确的是( )
A. B. C. D.
﹡3.已知代数式的值为9,则的值为( )
A.18 B.12 C.9 D.7
4. 若 是同类项,则m + n =____________.
5.观察下面的单项式:x,-2x,4x3,-8x4,…….根据你发现的规律,写出第7个式子是 .
6. 先化简,再求值:
⑴ ,其中,;
⑵ ,其中.
﹡7.大家一定熟知杨辉三角(Ⅰ),观察下列等式(Ⅱ)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.......................................
Ⅰ
Ⅱ
根据前面各式规律,则 .
课时4.因式分解
【课前热身】
1.若x-y=3,则2x-2y= .
2.分解因式:3-27= .
3.若.
4. 简便计算: = .
5. 下列式子中是完全平方式的是( )
A. B. C. D.
【考点链接】
1. 因式分解:就是把一个多项式化为几个整式的 的形式.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.
2. 因式分解的方法:⑴ ,⑵ ,
⑶ ,⑷ .
3. 提公因式法:__________ _________.
4. 公式法: ⑴ ⑵ ,
⑶ .
5. 十字相乘法: .
6.因式分解的一般步骤:一“提”(取公因式),二“用”(公式).
7.易错知识辨析
(1)注意因式分解与整式乘法的区别;
(2)完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项式.
【典例精析】
例1 分解因式:
⑴(聊城)__________________.
⑵3y2-27=___________________.
⑶_________________.
⑷ .
例2 已知,求代数式的值.
【中考演练】
1.简便计算:.
2.分解因式:____________________.
3.分解因式:____________________.
4.分解因式:____________________.
5.分解因式 .
6.将分解因式的结果是 .
7.分解因式=_____ _____;
8. 下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )
A.x2-xy B.x2+xy C.x2-y2 D.x2+y2
9.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( )
A. B.
C. D.
﹡10. 如图所示,边长为的矩形,它的周长为14,面积为10,求的值.
11.计算:
(1);
(2).
﹡12.已知、、是△ABC的三边,且满足,试判断△ABC的
形状.阅读下面解题过程:
解:由得:
①
②
即 ③
∴△ABC为Rt△。 ④
试问:以上解题过程是否正确: ;
若不正确,请指出错在哪一步?(填代号) ;
错误原因是 ;
本题的结论应为 .
课时5.分式
【课前热身】
1.当x=______时,分式有意义;当x=______时,分式的值为0.
2.填写出未知的分子或分母:
(1).
3.计算:+=________.
4.代数式 中,分式的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.计算的结果为( )
A. B. C. D.
【考点链接】
1. 分式:整式A除以整式B,可以表示成 的形式,如果除式B中含有 ,那么称 为分式.若 ,则 有意义;若 ,则 无意义;若 ,则 =0.
2.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的 .用式子表示为 .
3. 约分:把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分.
4.通分:根据分式的基本性质,把异分母的分式化为 的分式,这一过程称为分式的通分.
5.分式的运算
⑴ 加减法法则:① 同分母的分式相加减: .
② 异分母的分式相加减: .
⑵ 乘法法则: .乘方法则: .
⑶ 除法法则: .
【典例精析】
例1 (1) 当x 时,分式无意义;
(2)当x 时,分式的值为零.
例2 ⑴ 已知 ,则 = .
⑵已知,则代数式的值为 .
例3 先化简,再求值:
(1)(-)÷,其中x=1.
⑵,其中.
【中考演练】
1.化简分式:=________.
2.计算:+= .
3.分式的最简公分母是_______.
4.把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍,那么分式的值( )
A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 改变原来的 D. 不改变
5.如果=3,则=( ) A. B.xy C.4 D.
6.若,则的值等于( )
A. B. C. D.或
7. 已知两个分式:A=,B=,其中x≠±2.下面有三个结论:
①A=B; ②A、B互为倒数; ③A、B互为相反数.
请问哪个正确?为什么?
8. 先化简,再取一个你认为合理的值,代入求原式的值.
课时6.二次根式
【课前热身】
1.当___________时,二次根式在实数范围内有意义.
2.计算:__________.
3. 若无理数a满足不等式,请写出两个符合条件的无理数_____________.
4.计算:= _____________.
5.下面与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
【考点链接】
1.二次根式的有关概念
⑴ 式子 叫做二次根式.注意被开方数只能是 .并且根式.
⑵ 简二次根式
被开方数所含因数是 ,因式是 ,不含能 的二次根式,叫做最简二次根式.
(3) 同类二次根式
化成最简二次根式后,被开方数 几个二次根式,叫做同类二次根式.
2.二次根式的性质 ⑴ 0;
⑵ (≥0) ⑶ ;
⑶ ();
⑷ ().
3.二次根式的运算
(1) 二次根式的加减:
①先把各个二次根式化成 ;
②再把 分别合并,合并时,仅合并 ,
不变.
【典例精析】
例1 ⑴ 二次根式中,字母a的取值范围是( )
A. B.a≤1 C.a≥1 D.
⑵估计的运算结果应在( )
A.6到7之间 B.7到8之间 C.8到9之间 D.9到10之间
例2 下列根式中属最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
例3 计算:⑴ ;
⑵ +-2×.
【中考演练】
1.计算: .
2.式子有意义的x取值范围是________.
3.下列根式中能与合并的二次根式为( )
A. B. C. D.
﹡4. 数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P所表示的数是”,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )
A.代人法 B.换元法
C.数形结合 D.分类讨论
5.若,则xy的值为 ( )
A. B. C. D.
6.在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 .
7.(1)计算:º;
(2)计算:.
﹡8.如图,实数、在数轴上的位置,化简 .
第三章 方程(组)和不等式
课时7.一元一次方程及其应用
【课前热身】
1.在等式的两边同时 ,得到.
2.方程的根是 .
3.的5倍比的2倍大12可列方程为 .
4.写一个以为解的方程 .
5.如果是方程的根,则的值是 .
6.如果方程是一元一次方程,则 .
【考点链接】
1.等式及其性质 ⑴ 等式:用等号“=”来表示 关系的式子叫等式.
⑵ 性质:① 如果,那么 ;
② 如果,那么 ;如果,那么 .
2. 方程、一元一次方程的概念
⑴ 方程:含有未知数的 叫做方程;使方程左右两边值相等的 ,叫做方程的解;求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
⑵ 一元一次方程:在整式方程中,只含有 个未知数,并且未知数的次数是 ,系数不等于0的方程叫做一元一次方程;它的一般形式为 .
3. 解一元一次方程的步骤:
①去 ;②去 ;③移 ;④合并 ;⑤系数化为1.
4.易错知识辨析:
(1)判断一个方程是不是一元一次方程,首先在整式方程前提下,化简后满足只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程,像,等不是一元一次方程.
(2)解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化,要注意:①方程两边不能乘以(或除以)含有未知数的整式,否则所得方程与原方程不同解;②去分母时,不要漏乘没有分母的项;③解方程时一定要注意“移项”要变号.
【典例精析】
例1 解方程
(1); (2).
例2 当取什么整数时,关于的方程的解是正整数?
例3 今年5月12日,四川汶川发生了里氏8.0级大地震,给当地人民造成了巨大的损失.“一方有难,八方支援”,我市锦华中学全体师生积极捐款,其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表:
班级
(1)班
(2)班
(3)班
金额(元)
2000
吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上,但他知道下面三条信息:
信息一:这三个班的捐款总金额是7700元;
信息二:(2)班的捐款金额比(3)班的捐款金额多300元;
信息三:(1)班学生平均每人捐款的金额大于48元,小于51元.
请根据以上信息,帮助吴老师解决下列问题:
(1)求出(2)班与(3)班的捐款金额各是多少元;
(2)求出(1)班的学生人数.
【中考演练】
1.若5x-5的值与2x-9的值互为相反数,则x=_____.
2. 关于的方程的解是3,则的值为________________.
3. 某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%,求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为元,则得到方程( )
A. B. C. D.
4.解方程时,去分母、去括号后,正确结果是( )
A. B.
C. D.
5.解下列方程:
; (2).
6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台.改进生产技术后,计划第二季度生产这两种机器共554台,其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ,乙种机器产量要比第一季度增产20 %.该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台?
7. 苏州地处太湖之滨,有丰富的水产养殖资源,水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖,他了解到如下信息:
①每亩水面的年租金为500元,水面需按整数亩出租;
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗;
③每公斤蟹苗的价格为75元,其饲养费用为525元,当年可获1400元收益;
④每公斤虾苗的价格为15元,其饲养费用为85元,当年可获160元收益;
(1) 若租用水面 亩,则年租金共需__________元;
(2) 水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用,求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益-成本);
(3) 李大爷现在奖金25000元,他准备再向银行贷不超过25000元的款,用于蟹虾混合养殖.已知银行贷款的年利率为8%,试问李大爷应该租多少亩水面,并向银行贷款多少元,可使年利润超过35000元?
课时8.二元一次方程组及其应用
【课前热身】
1. 在方程=5中,用含的代数式表示为= ;当=3时,= .
2.如果=3,=2是方程的解,则= .
3. 请写出一个适合方程的一组解: .
4. 如果是同类项,则、的值是( )
A.=-3,=2 B.=2,=-3
C.=-2,=3 D.=3,=-2
【考点链接】
1.二元一次方程:含有 未知数(元)并且未知数的次数是 的整式方程.
2. 二元一次方程组:由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.
3.二元一次方程的解: 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解,一个二元一次方程有 个解.
4.二元一次方程组的解: 使二元一次方程组的 ,叫做二元一次方程组的解.
5. 解二元一次方程的方法步骤:
消元
转化
二元一次方程组 方程.
消元是解二元一次方程组的基本思路,方法有 消元和 消元法两种.
6.易错知识辨析:
(1)二元一次方程有无数个解,它的解是一组未知数的值;
(2)二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解,是一对确定的数值;
(3)利用加减法消元时,一定注意要各项系数的符号.
【典例精析】
例1 解下列方程组:
(1) (2)
例2 某厂工人小王某月工作的部分信息如下:
信息一:工作时间:每天上午8∶20~12∶00,下午14∶00~16∶00,每月25元;
信息二:生产甲、乙两种产品,并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件.
生产产品件数与所用时间之间的关系见下表:
生产甲产品件数(件)
生产乙产品件数(件)
所用总时间(分)
10
10
350
30
20
850
信息三:按件计酬,每生产一件甲产品可得1.50元,每生产一件乙产品可得2.80元.根据以上信息,回答下列问题:
(1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分?
(2)小王该月最多能得多少元?此时生产甲、乙两种产品分别多少件?
例3 若方程组与方程组的解相同,求、的值.
【中考演练】
1. 若是方程组的解,则.
2. 在方程3x+4y=16中,当x=3时,y=___;若x、y都是正整数,这个方程的解为_____.
3. 下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A
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