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2021年高考数学模拟试题

2021年高考数学模拟试题

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2021年高考数学真题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.
【详解】由集合，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ）
A. B. 3
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，复数，
因为复数为纯虚数，可得，解得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.
3.己知，，则下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可.
【详解】解：对于选项：因为函数在上单调递增，所以时，，故选项错误；
对于选项：因为在单调递增函数，所以，，故选项正确；
对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误；
对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.
4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型概率求法求解.
【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，
∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有个，
满足差的绝对值为5的有，，，，共5个，
则其差的绝对值为5的概率为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
5.函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.
【详解】，函数是奇函数，排除，
时，，时，，排除，
当时，，
时，，排除，
符合条件，故选C.
【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
6.已知函数是定义在上的奇函数，当0时，，则（ ）
A. 3 B. -3 C. -2 D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可求，代入可求，然后结合奇函数的定义得，进而求得的值.
【详解】是定义在上的奇函数，且时，，
，
，，
则.
故选：B.
【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数为奇函数且在有定义，则，理解这一知识点是求解本题的关键．
7.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得的坐标，设，，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得，的方程，结合离心率公式可得所求值．
【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，
设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程为，与双曲线联立，
可得，，
设，，
由三角形面积的等积法可得，
化简可得①
由双曲线的定义可得②
在三角形中，为直线的倾斜角），
由，，可得，
可得，③
由①②③化简可得，
即为，
可得，则．
故选：C.
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．
8.如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先设大球半径为，小球半径为，根据题中条件，分别表示出，进而可作差比较大小．
【详解】设大球半径为，小球半径为，根据题意，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（ ）

A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商
B. 三家设备商的产品组合指标得分相同
C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商
D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD均正确.
【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，
P设备商的研发投入在最外边，即P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商，故A正确；
三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；
R设备商的研发投入优于Q设备商，故C错误；
除产品组合外，P设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.
10.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）
A. 该椭圆的焦距为6 B. 的最小值为2
C. 的值可以为 D. 的值可以为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.
【详解】由椭圆，得，，，故A正确；
椭圆上的动点，，即有，
故的最小值为2，B正确；
设，，，…组成的等差数列为，公差，则，
又，所以，所以，所以的最大值是，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.
11.对于四面体，下列命题正确的是（ ）
A. 由顶点作四面体的高，其垂足是的垂心
B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点
C. 若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面
D. 最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱
【答案】BD
【解析】
【分析】
依题意画出图形，数形结合一一分析可得；
【详解】解：如图取、、、、、的中点
对于A.三角形的垂心是三条高线的交点，而点的位置可以任意变化，故A错误；
对于B.，，为平行四边形，同理也是平行四边形，
，的交点为平行四边形对角线的中点，，的交点为平行四边形对角线的中点，
故三条线段交于一点，故B正确；
若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于的中点，故C为错误；
对于D.假设D错误，设最长，则，，相加得，
在，中，，，所以矛盾，
故D正确.
故选：BD.

【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题．
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.己知函数，则（ ）
A. ，
B. 是偶函数
C. ，
D. 若的值域为集合，，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由取整函数的定义判断.
【详解】由定义得，故 A正确；
因为.易知在上是增函数；
∵，∴，∴，∴的值域为，故B错误.
，，，，
∴，，
∴，故C正确；
若，，使得，，，…，同时成立，则，，，，…，，
因为，若，则不存在同时满足，.只有时，存在故D正确；
故答案为：ACD.
【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用商数关系，由得到代入求解.
【详解】方法一：，则.
方法二：分子分母同除，得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；
【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，，所以，
又,所以.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.
15.设函数的最小值为，且，则______，______.
【答案】 (1). 2 (2). 9
【解析】
【分析】
化简函数，换元后利用的单调性求出最小值即可得出，将转化为，再利用展开式的通项即可得到答案.
【详解】由，
令，
因为函数，为减函数，
所以当时，，
即，
所以，
因为的展开式通项为：，
所以当，即时，展开式的项为，
又，所以.
故答案为：2；9
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.
16.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，己知常数，，且函数在内恰有2021个零点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根，，又，则、异号，再对、分四种情况讨论得解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到函数
，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为，
令，
令，可得，
令，得，，
则关于的二次方程必有两不等实根，，
又，则、异号，
（ⅰ）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在有偶数个根，不合题意；
（ⅱ）当且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意；
（ⅲ）当，则，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意；
（ⅳ）当时，则，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此关于的方程在区间上有2021个根，在区间上有2022个根，
此时，，得.
所以.
故答案为：1347.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.