八年级数学三角形的证明.doc

三角形的证明
本章知识点归纳：
1、线段垂直平分线性质定理及其逆定理：
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.
2、角平分线的性质定理及其逆定理：
定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.
逆定理：在一个角的内部(包括顶点)到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
3、等腰三角形的性质:
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合
推论：等腰三角形的两底角的平分线相等；两腰上的中线相等；两腰上的高相等。
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
4、等腰三角形的判定：
等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形
◆ 命题、公理、定理
命题：判断性的语句,是陈述句
几个重要的公理（不需证明）：
（1）两点之间线段最短；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）同位角相等，两直线平行；（5）两直线平行，同位角相等。

1.1 等腰三角形
一、 选择、填空题
1.等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
Ａ．20cm Ｂ．10cm Ｃ．10cm或4cm Ｄ．4cm
2.中，，，垂直平分，交AC、AB于点E、D，则的度数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形 C. 直角三角形 D．等腰直角三角形
4.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部．P′与P关于OB对称，P″与P关于OA对称，则O，P′P″三点所构成的三角形是( )
A. 直角三角形 B．钝角三角形 C. 等腰三角形 D．等边三角形
5.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)

6.如图，把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_____．

7.已知等腰三角形中，为边上一点，连接，若和都是等腰三角形，则的度数是 ．
二、解答题
8.△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AD＝AC，AD与BC相交于E，∠CAD＝30°，求∠BCD和∠DBC的度数。

9.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC=BF，求∠ECF的度数。

10.如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在AC延长线上取一点E,连结
DE交BC于点F，若F是DE中点，求证：BD=CE.

11.如图，AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证：BF=CF．

12.如图，中，，E在AC上，且，DE的延长线与BC相交于F。求证：

A
B
C
D
F
E
13.如图，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数。

F
E
A
D
B
C

x

14.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数。

15.如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD
求证：EC=ED

16.如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC,求证：BD=ED。

A
B
D
F
E
C
17.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD
求证：AF=FC

1.2 直角三角形
一、选择题
1.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶ 7, 则点D到AB的距离为( )
A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm
2．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（ ） A.高 B.角平分线 C.中线 D.边的垂直平分线
3．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法正确的有几个 （ ）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4． Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5． 如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状
最准备的判断是（ ）
A． 等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状

二、解答题
6.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？

7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.求证:BD=1/4AB

8.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．
（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？请证明

9.如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC都是直角，M、N分别是AD、BC的中点，
试判断MN和BD垂直吗？为什么？

A
B
C
D
10.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，证明：AB2=AC2+BC·BD

A
B
C
D
E
H

11.如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE.求证：AH=2BD

12. 如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系？

A
E
B
C
D
13. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，F在AC上，在BA的延长线上取AE＝AF，求证EF⊥BC

1.3 线段垂直平分线与角平分线
1、△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（ ）
A、点P在△ABC 内 B、点P在△ABC 底边上
C、点P在△ABC 外 D、点P的位置与△ABC 的边长有关
2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形
3、已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于( )
A、95° B、15° C、95°或15° D、170°或30°
4、如图1，在锐角△ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 。

5、如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（ ）
A、AB＞AD＋BC B、AB＝AD＋BC
C、AB＜AD＋BC D、无法确定
6、如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，
则下列结论中不正确的是（ ）
A． ∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF
7、 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A、1处　　 B、2处　　 C、3处　　　D、4处

8、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；
②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③

二、填空题
10、△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．
11、一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛，此时测得灯塔P
在北偏西50°方向，则P与小岛B相距________．
12、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.
13、点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，
则∠BOC的度数为____________
二、解答题
14、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

15、如图，在中，，，AD是的平分线. 求证：

16、如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，
求证：AE=BE．

17、 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.

18、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，
求∠BDE的度数．

A
B
C
D
E
19、如图，Rt△ABC的斜边AB中点为E，ED⊥AB交BC于D，且∠CAD︰∠BAD＝1︰7,求∠BAC的度数。

20、如图：在正方形ABCD中E是边AB上的任意一点，F是边BC延长线上的一点，EF
交边CD于点G，AE=CF （1）求证：点D在线段EF的垂直平分线上
（2）如果EF交正方形的对角线BD于点P，BP=BE,求证：EP=FG

21、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.

A
B
C
P
D
E
F
22、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，BD的垂直平分线交AB于P，PD交AC于E，求证：点P也在AE的垂直平分线上。

23、已知中，AB=2AC,AD平分AD=BD,求证：

24、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD，求∠B：∠C的值.

25、如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD

26、如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．
D
C
B
A
E

27、如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O,求证：AE+CD=AC.

A
D
E
C
B
28、如图所示，AD//BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C，求证：（1）E为DC的中点；（2）AD＋BC=AB.

综合测试题
1、如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。求证：BD＋EC＝DE。

2、如图△ABC中，∠ACB=90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M为垂足，
DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上.

3、如图，CD、CE分别是AB边上的高和中线，且。求证：

4、如图，，DE、FM、GN分别垂直平分AB、AD、BD。求证：AF=FG=BG。

5、 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，且CE=EF。求证：FG//AC

6、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE
于O。求证：（1）∠AOB＝120°；（2）CM＝CN；（3）MN∥AB。

7、如图所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线
于点F.试证明DE=DF.

8、△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，DE交BC于P，求证：DP=EP.

9、 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.

10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M、N.求证MB=2AC.

11、如图所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线
于点F.试证明DE=DF.

12、 AD为△ABC的角平分线，M为BC中点，ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F.求证BE=CF=(AB+AC)。

13、如图，在，OE、OF分别是AB、AC边的垂直平分线，的平分线相交于点I，判断OI与BC的位置关系，并证明你的判断。

14、如图，的平分线相交于P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E、F，G、H为垂足。求证：BF=CE