2023年全国高中数学联赛浙江赛区预赛.pdf

2 023+a,+a2an=2023,M为2 023+aja11.设n个正10满足a+a，+种.立，则所有这样的排列数有列.若不存在1ijk5使得a,aa,成10.设aj,az是数字1,2,5的排a+(1-t)b最大夹角为0.则cos向量21bl=10.当0 t1时，记向量ta+(1-t)b与9.设a、b 是两个垂直的平面向量，且ll引用格式：2023年全国高中数学联赛浙江赛区预赛中等2023(5):52-55.中图分类号：G424.79文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 5-0 0 52-0 4文献标识码：A52中等数学2023年全国高中数学联赛浙江赛区预赛一、填空题（每小题8 分，共9 6 分）1.已知集合S=1xERlx?+2x+a=0/.若-1ES,则实数a=(sin x+1)(cos x+1)2.函数f(x)在区间sinx.cosx元0，上的最小值是一23.已知四面体SABC，A 为SBC的重IAGI心，点G在线段AA上，=3,联结SG,交IGA.1IA,MIA BC所在的平面于点M.则IASIV12-3x2,-2x1;4.已知f()=2+2x,x1关于的方程f(x)=+a存在四个不同的实根.则实数的取值范围是5.设函数 f(z)(z E C)满足f(f(z)=(zz-z-z)2.若f(1)=0,则1f(i)-1/=6.已知m、n、k 是正整数.若存在正整数对(a,b)满足(1+a)n-4(m+a)n+4m+4a+b(k-1)b0)+622a的上顶点A与左顶点B的距离是V41，离心3率是,P(t,0)(-4-1)是x轴上一点.5(1)求椭圆方程；(2)联结AP,交椭圆于点C,过C作轴的垂线，与椭圆的第二个交点为D,求SAABD的取值范围.14.(20分）设整数n2,对于(1,2,n的任一排列=(o(I),(2),o(n),记S=ilo(i)*i,i=1,2,nl.求minlo(i)-il的值,aES并计算取到最小值时排列的数目.15.(20分)设f()Ezx,令P=(plp为素数且对某个jEZ+，p l f(2 0 2 3).已知P是有限集,求f(x).参考答案一、1.1.将=-1代人方程x+2x+=0，解得a=1.2.3+2V2.令t=sin x+cos x.则1tV2.2故f(x)=1+3+2/2.t-13.3由S、A、G、M、A 五点共面，知M是ABCIA,MI的重心，由此得IASI34.(2,4).因为y=x+于y=+2和y=x+4达到极值,所以,2 a1 f(i)-1I=1.6.4.题给不等式配方得(2m-n)+a(n-2)+b(k-1)ak=X-X-1:akX-Xk-1则M2023+a+.+ak=1-M-(显然0 M12等号取到条件验证略.12.2:V5:V5.令2 3=0,则4z+52=4z/22.解得三=i5兰，与，夹角余弦值为1一1z21设1z2 1=k,则1z,1=V5k.2V5解得1z1-zl=k.22故a:b:c=:1:1=2:V5:V5.V5二、13.(1)由题意知3a?+62=41,Va?-62a5解得a=5,b=4.Ca5解得a=5,b=4.故所求椭圆方程为2516(2）联结AD，交x轴于点E.4设lap:y=-=x+4.t2与椭圆方程X=1联立，解得251650t4t?-100Ct2+252+25由于点C、D 关于x轴对称，则50t100-4t2D7+25+2+25因为A、D、E三点共线，所以，E故SAMD=SAABE-SABDE1故lo(i)-in+1,等号取到当且仅当U17(f(2 023)=V17(c).=V(f(2 023)=V(c),从而，限V(c)1+mk,Viz(c)1+mk.若的常数项c非零，则当k充分大时，P;干/,1/552023年第5期1=IBEI(yA-yD)220(-t2-5t)2+2520(-t2-5t)因为在区间-4,5(1-V2)t2+25内单调递增，在区间(5(1-V2),-1内单调递减,所以，80S10(V2-1).41AABD14.因为(i)i,所以,l(i)-i1.故1()-i1n.（1）当n是偶数时,不等式取到等号，即对任一i,有lo(i)-i=1.此时当且仅当0(1)=2,o(2)=1,o(2k-1)=2 k,o(2k)=2 k-12即minZlo(i)-il=n,aES1只有一种排列取到等号.（2）当n是奇数时，不等式不可能取到等号.事实上，若对所有i=1,2,，n，均有lo(i)-il=1,则o(1)=2,o(2)=1(若(2)=3,可得o(3)=4,o(n)=n+1,矛盾).类似地，0(3)=4,0(4)=3,o(n-2)=n-1,o(n-1)=n-2,而o(n)=n,不合题意.因此,至少有一个i,满足l(i)-i2.n一1将1,2,n分成组,其中一组如(k,k+1,2k+2),其余组均为(k,k+1).对于(k,h+1,k+2)有o(k)=k+1,o(k+1)=k+2,o(k+2)=k或o(k)=k+2,o(k+1)=k,o(k+2)=k+1.因此,minlo()-il=n+1,此时的排列1n-1数目为2=n-1.215f（)几n（为非零整数）15.f()=cx(c为非零整数).对于的次数归纳证明，只需证明当的次数非零时,其常数项为零,则f()=xg(),g(x)满足同样的条件.设P=1 Pr,p,I,且f(2 023)=p p2 p(,0).记m=0;+1PiP;*7,17令n-1=km(kEZ+).则对所有不等于7 或17 的素数p,有2 023 2 023=2 023(2 023-1 1)=(mod pg*).由(2 0 2 3-2 0 2 3)I(f(2 023)-f(2 023)知当n-1=mk时,f(2 023)=I.因此，(2 0 2 3)为常数，与f的次数非零矛盾.（杨晓鸣提供）编读往来本刊2 0 18 第12 期一个多项式问题作者指出第19 页左栏第2 8 行应为：“(22+ag(2;+2,)+1),ij