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2021年高考数学三轮冲刺训练 计数原理及二项式定理

2021年高考数学三轮冲刺训练 计数原理及二项式定理

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计数原理及二项式定理
1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．
2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.

一、 排列、组合
1. 分类加法计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．
2. 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．
3. 排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，并且m≤n)
A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1．
4. 组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．
(3)组合数公式：
C＝＝＝
(n，m∈N*，并且m≤n)．
(4)组合数的性质：
性质1：C＝C．
性质2：C＝C＋C．
性质3：mC＝n·C．
二、 二项式定理
1· 二项式定理的展开式
公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk．
2. 二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C．

一、杨辉三角”与二项式系数的性质
(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C．
(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大；
当k＞时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为2n，即C＋C＋…＋C＝2n.
(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1．
二、排列、组合的方法技巧
1、特殊位置、特殊元素优先安排
2、插空法
3、捆绑法

1． 的展开式中x3y3的系数为
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C.
2． 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C．
3．在的展开式中，的系数为
A． B．5
C． D．10
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
4．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由题意得x3的系数为，故选A．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5． 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，
先取2名同学看作一组，选法有：.
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，
故答案为：.
6． 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
其二项式展开通项：

当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
7．在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
8．二项展开式，则_______，________．
【答案】80；122
【解析】的通项为，令，则，故；.
故答案为：80；122.
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
9．在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．
【答案】
【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．
10．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案为：16．
11．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【答案】1260
【解析】若不取0，则排列数为；若取0，则排列数为，因此一共可以组成个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．
12．二项式的展开式的常数项是__________．
【答案】7
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令得，故所求的常数项为．故答案为：7．
13．在的展开式中，的系数为__________．
【答案】
【解析】二项式的展开式的通项公式为，令可得：，则的系数为：．故答案为：．
14．设．已知．
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．

．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：

．
因为，所以．
因此．

一、 单选题
1、2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛，现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】C
【解析】若小张、小赵中有一人入选，则有选法 C21C21A33＝24 种；
若小张、小赵都入选，则有选法 A22A32＝12 种，
所以共有选法 12+24=36 种，故选 C.
2、 展开式中的系数为（ ）
A．-112 B．28 C．56 D．112
【答案】D
【解析】
由．
取，得．
展开式中的系数为．
故选：D.
3、的展开式的中间项为（ ）
A．-40 B． C．40 D．
【答案】B
【解析】
的展开式的通项为
则中间项为.
故选：B.
4、若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．60 B．120
C．160 D．240
【答案】D
【解析】二项式的展开式中二项式系数之和为
则，所以
二项式的展开式的通项公式为
要使展开式中含，则，所以系数为：
故选：D
5、的展开式中的系数为（ ）.
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】C
【解析】的展开式的通项为，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为，
故选：C.

二、 多选题
6、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】CD
【解析】
6门中选3门共有种，故A错误；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．
故选：CD
7、若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令，则，A对，
令，则，令，则，
∴，，B对，C错，
令，则，又，则，D对，
故选：ABD.
8、若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，
即，
即，①
令，得，即，②
由于的展开式中，所以，③
所以①-②-③得：，
而，
所以，解得：，故A正确；
对于B，由于，则，
所以展开式中二项式系数和为，故B错误；
对于C，由于，则的所有项系数为
，故C正确；
对于D，由于，则，
等式两边求导得：，
令，则，故D正确.
故选：ACD.
9、在的展开式中，下列说法正确的有( )
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为0
C．系数最大的项为第4项和第5项 D．存在常数项
【答案】AB
【解析】：的展开式的各个二项式系数的和等于，即，27=128，所以A对；
求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，令x=1，系数和为0.所以B对；
求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得．，由于中不含每一项系数，为1和-1，则系数最大值与有关，4项和第5项一负一正，所以C是错的；
二次项次数是奇次，所以不可能出现常数项，D是错的。
三、 填空题
10、若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．
【答案】35
【解析】解：的展开式的通项公式为，
展开式中第5项为常数项，故当时，，，
该展开式的常数项为，
故答案为：35．
11、在的展开式中，常数项等于____．
【答案】160
【解析】的展开项的形式是
若为常数项，可得
故常数项为
12、的展开式中有理项的个数为 ．
【答案】34
【解析】，所以r＝0，3，6，…，99时为有理想，共34个．
13、已知.若，则___________；___________.
【答案】 0
【解析】
因为
其中展开式的通项为，令，则，令，则，所以展开式中项为，故，
令则，
令则，
所以0，
故答案为：；.
14、的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.
【答案】
【解析】
的展开式的通项为，
令，得，所以，展开式中的常数项为；
令，令，即，
解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.
故答案为：；.