浅析车灯线光源的计算-学位论文.doc

浅析车灯线光源的计算本科毕业论文
浅析车灯线光源的计算
引言
2005年4月8日，我结束了到潞城四中的应聘，乘中巴车行驶在长治返回榆次的途中。到下午5点钟天下起了雪，夜幕渐渐的降临。雪变成了雨，我乘坐的车恰恰前灯不太亮，就这样不幸的事发生了……
回到学校,我深思了很久决定选：《浅析车灯线光源的计算》为本科毕业论文题目。希望它能为我们的社会挽回一点损失，避免一些不幸重演。
该理论曾在2002年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目的A题和C题讨论过。参赛的有关学生对此做出了不同的理解。而在汽车车灯生产厂家所用的理论则出于商业秘密，不向外公开。
针对本论题，本文计划讨论如下四个问题：一、车灯线光源长度的确定方法；二、直射光总功率与反射光总功率之比；三、计算测试屏上直射光的亮区；四、计算测试屏上反射光的亮区。
第一章 问题的提出
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
本文将解决下列问题：
⑴ 在满足该设计规范的条件下，请提出确定线光源长度的方法。
⑵ 计算直射光总功率与反射光总功率之比。
⑶ 计算测试屏上直射光的亮区。
⑷ 计算测试屏上反射的亮区。

第二章 基本假设、符号说明以及有关物理定律
2.1基本假设
1、反射面为光滑曲面，反射光线将不发生衍射，无能量损耗。
2、根据汽车制造业的惯例，车灯设计中只使用几何光学的光路追迹法，物理光学理论中的干涉衍射及色散等因素对光能量的影响不予考虑。则空间一点的光强度与通过该点的光线数目成正比且不受光程影响。
3、线光源能量分布均匀线光源上任意一点光源发射的光强度均等，功率密度一定时总功率与长度成正比。
4、假设测试屏竖直且充分大。
5、设线光源的宽度不计。
2.2符号说明
表2.2-1
符号
含义
І
光强度
φ
光通量
d
线光源长度
P
线光源总功率
P1
直射光总功率
P2
反射光总功率
ρ
线光源空间功率密度

2.3物理定律
2.3.1光的直射定律
光在均匀介质中是沿直线方向传播的；
2.3.2光的反射定律
反射光线、入射光线和法线在同一平面上，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角；
2.3.3光路可逆原理
由该原理可的以下两定理：
定理1：设从线光源正向光路追迹到屏上点的光线与抛物面上的作用域的范围为∑（若作用域为一个个离散点则∑代表点集），从屏上点发光追迹到线光源的光线与抛物面的作用域的范围为∑/（若作用域为一个个离散点则∑/代表点集），则有∑=∑/
定理2：当光源发光光强一定时，接收面上的光强度等于面上各微元面收到的光线数目之和成正比。
证明：光通量 为通过某一截面的光线的条数n/。

光强度I与光通量dφ的关系为： （dφ为立体角） ⑴
光强度I与光能量E的关系为： ⑵
⑶
由⑴⑶知：要使收集的光线数目n具有可比性，需使不同光源发光强度I相等
由⑴⑶得
所以
这里ds/为法线方向为光线方向的微小面积元，ds为接收面上的微小面积元。证明完毕。

第三章 问题的解答
3.1线光源长度的确定方法
3.1.1问题分析
此问题的难点在于对于抛物面这样一个旋转对称的曲面，只有对称轴上的点才具有这样的对称性，而非轴上点（即线光源上除焦点以外的所有点）对抛物面存在一个离焦的问题。那么如果想从理论上寻找一些简化的光路表达式，不是一件容易的事。因此我们的主要方向在于寻找能够降低计算量的办法。
3.1.2光路逆向与双向光路追迹的提出
为了确定光线与抛物面的作用轨迹，追迹从线光源发出到达屏上的光线需要在整个旋转抛物面上求解，而若光路逆向（即假设B、C两点为总能量均为K的点光源，而原线光源为长度为a的线接收器，B，C发出的光线经过抛物面反射后部分落在线接收器），由于屏与抛物面相隔距离很远，从屏上点光源发出的光线追迹时 只需取空间一个很小的立体角就能够分析完全可能照射到抛物面上的所有光线。则我们初步推测如果能够合理利用逆向追迹的这点，就能够对降低计算量做出贡献。
反射函数
光线非均匀到达
光线均匀到达
图 ⑵
光线非均匀到达
反射函数
光线均匀发射
图 ⑴

逆向求解时“倒置”了光源，此时光线在全空间的强度分布产生了变化， 图⑴，图⑵两图反映了光源倒置前后的光能分布变化。可见通过O、N两点的光线疏密程度均发生了改变，而从现有数据无法计算出“光源倒置”前后的全空间能量分布具体变化情况，即单独用逆向法不能够得出正确的能量关系，也就不能解决第一问所提出的问题。但又由定理1，此方法能够求解出线光源上的光线与抛物面的作用域∑。
综合考虑逆向法的优越性及局限性，使用光路正、反双向追迹法是合理的，鉴于此，我们提出了双向蒙特卡罗光路追迹法。
3.1.3蒙特卡罗光路追迹法说明
蒙特卡罗光路追迹的过程是，认为点光源射出的是分布均匀的光线（即光源发出一批总数目为N，N极大的均匀光线），然后把接收面细分为矩形小方格，光线最终被收集到一个个的矩形小方格内，由定理2，点光源发光为等光强度发光，可用接收面上接收的光线数目n衡量接收面能量强弱，也即到达每个矩形小方格的光能值依赖于小方格所收集到的光线的数量。方格越小对光能描述得越好。
需要声明的是，蒙特卡罗法本身是随机地产生点数，在计算点光源发光时一般追迹的光线数目为上万条，当光线数目如此密集之后，这样实际上光源所追迹的光线已经均匀化。基于此，我们在下面的理论及计算中，都假设光源发出均匀光线，而不是随机生成光线。
3.1.4双向蒙特卡罗光路追迹法
依据上述分析，我们建立了双向蒙特卡罗光路追迹法，此理论中各向的追迹均采用蒙特卡罗光路追迹。
第一步（逆向过程）：把屏上的点看作发光点，进行光路逆向，对屏上一点所发出光线进行光路追迹，得出落在线接收器上的光线与抛物面的作用域范围∑/；
第二步（正向过程）：根据第一步所得的∑/，依据定理1，采用正向光路追迹，即线光源上各点发光，此时，求解范围被限制在了∑＝∑/内。对此区域求得落在屏上对应点的光线分布，也即光能量分布。
此两步一正一反，故称为双向蒙特卡罗光路追迹法。相应的，我们也可以定义逆向蒙特卡罗法，就是只采用上面第一步里的逆向运算。
3.1.5双向追迹的优越性
在第一步中屏上点发出的光线只需追迹与抛物面相交的很小的一块空间区域，计算量比起不使用逆向追迹有少量增加；在第二步中，由于有了第一步所得的作用区域，大大减少了正向追迹时光线的求解范围。两者综合作用，其反向追迹增加的计算量与正向追迹减少的计算量相比，小到可以忽略不计。比起只用正向求解，总体速度得到很大的提高。
3.2直射光总功率与反射光总功率之比
3.2.1计算方法一
利用直射光和反射光对应的空间角之比，求其功率之比。由题意分析我们可把线光源看作点光源来研究。以线光源为原点，旋转抛物面的中心对称轴为Z轴建立如图⑶所示的空间直角坐标系：
图 ⑶

图 ⑷

则直射在半径为r的球面上的面元为，用平面ZOY截旋转抛物面所得的图形在ZOY坐标系中如图⑷所示，O1为Z轴与旋转抛物面开口所在平面的交点，则

直射光在半径为r的球面上照射的面积为

直射光对应的空间角为

反射光对应的空间角为

因为线光源能量公布均匀，将其作点光源后，其在单位空间角的功率均相等。则直射光与反射光总功率之比

由已知条件可知，旋转抛物面的方程为X2+Y2＝60Z，焦点坐标为F（0，0，0），则代入数据可得：

3.2.2计算方法二
在上一节的基础上，我们不难想象将点光源都放置于球心位置，它直射到球上的面积显然为一球冠的表面积。将直射面积与反射面积作比，这样就可将功率比问题转化为球缺与球冠表面积之比。
图 ⑸
由球冠表面积公式可得，其功率
比=表面积比=球缺与球冠高比，这样问题就转
化为球缺与球冠的高的比，问题就简单化了。
我们对图形进行分析，在求高的过程中可以将
其转化为平面图形来处理。我们以线光源的中
点为原点，取线光源所在直线为Y轴，旋转抛
物面的中心对称轴为Z轴建立空间直角坐标系。
取YOZ截面，在YOZ坐标系中以线光源上任一
点Ｂ为圆心，以Ｂ到开口圆的最大距离为半径
做圆，如图⑸所示：

直射区球冠的高＝（BQ1－BN）＝BQ1（１－cosα）
另一部分球冠高＝（BQ1＋BN）＝BQ1（１－cosα）
很显然它们之比等于
即直射光总功率P1与反射光总功率P2之比
可将线光源看作是由一个点光源在B1B2上做上下重复运动。
⑴ 当点光源移动到B1时，即B1为点光源。显然BQ1为圆的半径，∠EBQ1＝β,在ΔQBN中已知三边长，用余弦定理可得出β，从而可求出值，即可解得。

⑵ 同理，当点光源移动到B2时，结果同上。当点光源移动到焦点F时

通过对点光源依次移动情形的计算比较，可得它们的总功率比值在［0.693694846，0.694444444］，误差很小。所以，最终我们对这个区间均匀求值。得出最终结果：
3.2.3计算方法三
将线光源进行分割，用微元法计算直射总功率和反射光总功率之比。坐标系的建立同上一节，取其YOZ平面，在YOZ坐标系中，在线光源上任取一微元dy，用B表示。取最长半径BQ1为直射光对应的空间球面半径，则其对应的空间角为

其中

则直射光的总功率为

反射光的总功率为
代入数据得
3.2.4三种解法的启示
方法一是物理中常用到的方法，它将物理模型在合乎实际的情况下适当简化，即将车灯线光源理想化为一点光源，使计算大为简化，体现了物理思想的微妙，给人一以说不出的美感。
方法二也是物理中常用到的方法，它将数学中的分割思想引入实际问题，结合物理的有关知识进行分析，取其极端，从而较好的确定出γ的范围。物理中在处理变化范围问题时经常用到该方法。
方法三体现了数学对物理处理问题的重要性。在处理实际问题中时，我们经常利用数学工具并结合正确的物理思想，使问题得到圆满解决。
总的看来，在解决物理问题时，光靠合理的简化并不能较好的解决问题，还必须借助数学这一工具。从上述三种解法我们不难体会到数学和物理的结合之美。
图 ⑹
3.3直射光的亮区
3.3.1线光源上任一点光源的直射光亮区
本节将证明线光源上任一点光源发出
的光线直射到测试上形成的亮区为一圈形
区域。如图⑹所示，在线光源上任取一点
B1，在旋转抛物面的开口边缘上任取两点
E、Q。01为Y轴与旋转抛物面开口平面的
交点。连接B1O1并延长交测试屏与O2点。
连接B1E，并延长交测试屏于E1点。分别
连接O1E和O2E1。
则由题意可知： ∆B1O1E∽∆B1O2E1
∆B1O1Q∽∆B1O2Q1
∴
又∵
∴
由此我们可证得：测试屏上直射光所能到达的最大区域边界上的任意两点到直射光亮区中心点间的距离相等，即它所对应的亮区为圆形区域。证毕。
3.3.2线光源的直射光亮区
本节将证明线光源分割后的每点光源照射到测试屏上的直射光亮区所形成的圆形区域的半径相等。
如图⑺所示，在线光源上任取两点B1、B2，O1为Z轴与旋转抛物面开口平面的交点，即车灯开口处圆的圆心。分别连接B1O1，B2O2并延长，交测试屏于点O2，O3在旋转抛物面的开口边缘再任取两点Q、G，连接B1Q和B2G，并延长交测试屏于点Q1、G1
图 ⑺

因测试屏与Z轴垂直，即平面O1EQ与测试屏平行，所以有：
∽ ⑷
∽ ⑸
∽ ⑹
由⑷式可得 ⑺
由⑸式可得 ⑻
由⑹式可得 ⑼
由⑺⑻⑼三式可得
又因
所以
即线光源分割后每一点光源直射到测试屏上的圆形亮区区域的半径相同，证毕。
3.3.3直射光亮区的计算
由上两节的知识可知，在测试屏上直射光的亮区为半径相等的多个圆形亮区叠加而成的类似小型跑道围成的区域。
取旋转抛物面的顶点和线光源所在直线组成的平面。以顶点O为原点垂直线光源方向为X轴建立平面直角坐标系。其中F为抛物线的焦点B1与B2分别为线光源两端点，O1为抛物线开口连线与X轴交点。D，D/分别为抛物线开口上下边缘上两点，A点为X轴与测试屏交点。如图⑻示。
图 ⑼
图 ⑻

点光源B1，B2，F发出的光线通过上边缘D点分别照到测试屏的D1、D2、D3点，通过下边缘D/点分别照到测试屏的D1/，D2/，D3/。由于旋转抛物面开口为一圆形具有对称性，可知测试屏上直射光亮区的长半轴R0=AD2，短半轴为R=AD3，则圆心向一侧的偏移量为σ=AD2-AD3，在测试屏上，以直射光亮区的中心为原点，亮区长轴方向为X轴，建立平面直角坐标系，如图⑼所示。则，线光源在测试屏上直射光亮区的区域为两半圆：

和两条直线，所围成的区域。
针对本文研究的是问题，取过旋转抛物面顶点和线光源所在直线的截面建立如图⑽所示
图 ⑾
图 ⑽

坐标系，过B1作平行于x轴的直线分别交抛物线开口连线和测试屏于点M，N。则，F（15，0），B1（15，2），B2(15，-2)，D1(21.6，36)，A(25015，0)。
∵△D3FA∽△DFO1 ∴ 即
∵△D2B2N∽△DB2M ∴ 即
∴
代入数据可得：
R=136363.64mm
R0=143937.39mm
σ=7573.75mm
所以长4mm的线光源在测试屏上直射光的亮区区域为两半圆：

和两条直线，所围成的区域。如图⑾所示。
3.4反射光亮区
在线光源上任选一点 ，在反射面上任一点
此点处的内法向量为。设反射光线与测试屏交点为，则反射光线与入射光线以及法线应满足以下条件：
⑴ 入射角α等于反射角β，故此时入射光线的单位向量为

法向量的单位向量为

反射向量的单位向量为

由于，所以，由此可得方程

⑵ 反射光线与法线以及入射光线在同一平面内．
因为三条线有一个公共交点，所以只需其中一条直线的向量与另外两条直线所组成平面的法向量垂直即可．其中入射光线与法线组成平面的法向量为，因为与垂直，所以，即，由此可得方程。由这两个条件得到一个x，y 关于t，m的参数方程
⑽
其中
其中分别为

但此时得到的反射光亮区没有考虑反射光被旋转抛物面遮挡的部分。设反射光线上任一的坐标为（x，y，z）点其遮挡部分与旋转抛物面的交点由方程组
⑾
（其中只需将上式的中的25015用y代替既可）
所得的点中去掉入射点而得到。这样我们可借助计算机将⑽式所得的点中去掉⑾式所得的点即为反射光亮区的点集，最终绘制出反射光照射到测试屏的亮区区域图形。
小结
本文对问题的解答重在物理思想的应用，而对计算量较大需借助计算机解决的问题则未继续深入。但从本文我们不难体会到随着科技的进步，以前我们无法解决的问题正在逐步的到解决。我们也深深体会到，在物理学中，解决一个问题没有数学这一工具和计算机这一高科技的产物是寸步难移的。
根据几何光学的光路可逆原理，在3.1中，我们进行光路的逆转，将原来的线光源与接收屏上的点转变为线接收器与点光源，此时在线光源与接收屏上的点之间建立了"联系"的光线，虽然能量分布产生了变化，但边界点的轨迹是不变的。即：如果把屏上点N当作点光源时没有光线照射到线接收器上，那么线光源发出的光也就不会落在点N上。这样用逆向蒙特卡罗法计算出所有这种点的集合，其补集即为所求亮区区域。此方法能够大大节省计算量，使计算量至少降低了一个数量级。
我们注意到，在3.2中对功率的损失理想化，这样做比较方便于建立模型和计算操作。但由物理光学理论，成束光线的传播必然存在干涉衍射等因素的影响，而光线射出前照灯之前的反射与投射、卤素灯内用来延长灯丝寿命的气态碘等这些因素也必然会削减光波的能量。只不过这些因素对该问题的求解影响不太大，又由于实际设计中用来做前照灯的光源仪器并非精度要求很高的精密光学仪器，所以简化后的计算结果误差一般可以不予考虑。同时就该问题，本文采用了三种方法求解体现了思维的多样性，也体现了物理学之美。
在3.3中，本文利用物理思想，应用空间解析几何和平面解析几何的有关知识对问题进行分析，从而巧妙的得出直射光的亮区为类似跑道的区域，并给出了具体的计算结果。
对最后一个问题的求解，本文给出了详细的计算过程以及满足相应的反射光亮区的方程组。但真实的汽车前照灯并非为一个光滑连续的旋转抛物面，而是一块块“小曲面”组成，这一块块小曲面分别是焦点位置不同的旋转抛物面的部分截块，总的反光镜面没有真正意义上的焦点，在现有模型的基础上解决这个实际问题只需分区域对每个连续光滑曲面应用本文方法求解最后汇总即可。为降低车头的空气阻力，进而改善油耗情况，如今设计的汽车前照灯均为倾斜安置的，这样会使近光距离处的配光性能产生变化，光强分布也会改变，进而影响亮区的形状。
根据本文分析，就车灯的用途而言，当在高速路上行驶时建议使用尽量短的光源，使光线尽可能地集中，有利于极早发现远方物体。而当是在市区的行驶的车量，由于人流比较密集，所以也应使光线较强，应用短光源。而在郊区时对光强度要求不高，在达到相同的光强下，用点光源则可以节省能源，对照明时间长且光强要求不同的情况都可以使用长光源。同时，我们是否可以换一个角度来思考问题？我们是否可将车灯线光源沿旋转抛物面的中心对称轴放置，而抛物反射面则由焦距不同的旋转抛物面组成。或将线光源与当今的灯光节能技术以及光纤相结合来制造出更为优化合理的汽车前照灯。

参考文献
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[14] 汽车前照灯配光性能GB 4599－94.

摘 要

汽车前照灯分为“近灯”“中灯”和“远灯”三个档位，近光的距离取的是汽车前照灯正前方的一恒定距离（国际通用的标准为25米远）。汽车的配光性能可以通过在接收屏上测光强等手段来衡量。本文依据光的直线传播，反射，折射定律以及光路可逆原理，将车灯线光源和旋转抛物面合理简化为便于分析计算的物理模型。经过分析计算我们得出了车灯线光源长度的确定方法和反射光亮区的计算方法，并用三种方法计算了直射光总功率与反射光总功率的比值，运用空间解析几何和物理的相关知识巧妙的计算出了之射光亮区。最后将本文理论与实际进行了对照，说明了本理论在实际中的可用性以及其不足之处，进而又提出了未来车灯发展的一点看法。
关键词：光路可逆；蒙特卡洛法；线光源；前照灯；旋转抛物面

目 录

引言 1
第一章 问题的提出 1
第二章 基本假设、符号说明以及有关物理定律 2
2.1基本假设 2
2.2符号说明 2
2.3物理定律 2
2.3.1光的直射定律 2
2.3.2光的反射定律 2
2.3.3光路可逆原理 2
第三 章问题的解答 4
3.1线光源长度的确定方法 4
3.1.1问题分析 4
3.1.2光路逆向与双向光路追迹的提出 4
3.1.3蒙特卡罗光路追迹法说明 4
3.1.4双向蒙特卡罗光路追迹法 4
3.1.5双向追迹的优越性 5
3.2直射光总功率与反射光总功率之比 5
3.2.1计算方法一 5
3.2.2计算方法二 6
3.2.3计算方法三 7
3.2.4三种解法的启示 7
3.3直射光的亮区 8
3.3.1线光源上任一点光源的直射光亮区 8
3.3.2线光源的直射光亮区 8
3.3.3直射光亮区的计算 9
3.4反射光亮区 10
小结 12
参考文献 13

17