资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则这个几何体的主视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
4．对于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大减小
D．抛物线开口向上
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )
A．15 B．12 C．9 D．6
6．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（ ）
A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：4
8．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
9．下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
10．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
12．方程的根为_____．
13．2018年我国新能源汽车保有量居世界前列，2016年和2018年我国新能源汽车保有量分别为51.7万辆和261万辆.设我国2016至2018年新能源汽车保有量年平均增长率为，根据题意，可列方程为______.
14．如图，是等腰直角三角形，，以BC为边向外作等边三角形BCD，，连接AD交CE于点F，交BC于点G，过点C作交AB于点下列结论：；∽；；则正确的结论是______填序号
15．抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为_____．
16．如图，与中，，，，，AD的长为________.
17．如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC的长为_____．
18．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：在△ABC中，点D、点E分别在边AB、AC上，且DE // BC，BE平分∠ABC．
（1）求证：BD=DE；
（2）若AB=10，AD=4，求BC的长．
20．（6分）如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为.
（1）求坡面的铅垂高度（即的长）；
（2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.
21．（6分）在二次函数的学习中，教材有如下内容：
小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程的近似解，做法如下：
请你选择小聪或小明的做法，求出方程的近似解(精确到0.1).
22．（8分）抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式.
23．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为。
(1)计算由、确定的点在函数的图象上的概率；
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若、满足＞6则小明胜，若、满足＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由.若不公平，请写出公平的游戏规则.
24．（8分）如图，点E在的中线BD上，．
（1）求证：；
（2）求证：．
25．（10分）如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点、，与交于点．
备用图
⑴求抛物线的函数解析式；
⑵点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．求关于的函数表达式；
⑶抛物线的顶点为，对称轴为直线，当最大时，在直线上，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC
(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
(2)若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】由左视图可得出这个几何体有2层，由俯视图可得出这个几何体最底层有4个小正方体．分情况讨论即可得出答案．
【详解】解：由题意可得出这个几何体最底层有4个小正方体，有2层，
当第二层第一列有1个小正方体时，主视图为选项B；
当第二层第二列有1个小正方体时，主视图为选项C；
当第二层第一列,第二列分别有1个小正方体时，主视图为选项D；
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是简单几何体的三视图，根据所给三视图能够还原几何体是解此题的关键．
2、C
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项进行判断即可.
【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握定义是关键.
3、B
【分析】根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．
【详解】∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵圆心O到直线l的距离是2，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．
4、C
【分析】A.将抛物线一般式化为顶点式即可得出顶点坐标，由此可判断A选项是否正确；
B.根据二次函数的对称轴公式即可得出对称轴，由此可判断B选项是否正确；
C.由函数的开口方向和顶点坐标即可得出当时函数的增减性，由此可判断C选项是否正确；
D.根据二次项系数a可判断开口方向，由此可判断D选项是否正确.
【详解】，
∴该抛物线的顶点坐标是，故选项A正确，
对称轴是直线，故选项B正确，
当时，随的增大而增大，故选项C错误，
，抛物线的开口向上，故选项D正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质.对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤时，y随x的增大而减小；当x ≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤时，y随x的增大而增大；当x ≥时，y随x的增大而减小．在本题中能将二次函数一般式化为顶点式（或会用顶点坐标公式计算）得出顶点坐标是解决此题的关键.
5、A
【分析】根据三角函数的定义直接求解.
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，
∵，
∴，
解得AB＝1．
故选A
6、C
【解析】从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C中图象便是俯视图.
故选：C.
7、A
【解析】试题解析：∵ED∥BC，
故选A.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
8、B
【解析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.
【详解】连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=∠AOB=25°，
故选B.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.
9、C
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果数据的个数是偶数，中间两数的平均数就是中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【详解】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；
C．一组数据，，，的众数是，中位数是，正确；
D．可能性是的事件在一次试验中可能会发生，D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键．
10、B
【分析】设原菜地的长为，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】设原菜地的长为，则原矩形菜地的宽
由题意得：
解得：，(不合题意，舍去)
故选：B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
12、x=3
【分析】方程两边同时乘以，变为整式方程，然后解方程，最后检验，即可得到答案.
【详解】解：，
∴方程两边同时乘以，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的根，
∴方程的根为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验.
13、
【分析】根据增长率的特点即可列出一元二次方程.
【详解】设我国2016至2018年新能源汽车保有量年平均增长率为，根据题意，可列方程为
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程.
14、②③④
【分析】根据题意证明∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC即可证明②正确, ①错误,在△AEF中利用特殊三角函数即可证明③正确,在Rt△AOC中,利用即可证明④正确.
【详解】解：由题可知,∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC,
∴∠ACD=150°,
∴∠CDA=∠CAD=15°,
∴∠FCG=∠BDG=45°,
∴, ②正确, ①错误,
∵易证∠FAE=30°,设EF=x,则AE=CE=,
∴, ③正确,
设CH与AD交点为O,易证∠FCO=30°,
设OF=y,则CF=2y,由③可知,
EF=（）y,
∴AF=（）y,
在Rt△AOC中,.
故②③④正确.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,特殊的直角三角形,三角函数的简单应用,难度较大,熟知特殊三角函数值是解题关键.
15、（0，﹣5）
【分析】要求抛物线与y轴的交点，即令x＝0，解方程．
【详解】解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x﹣5，求得y＝﹣5，
则抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
故答案为（0，﹣5）．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点坐标，正确掌握令或令是解题的关键．
16、
【分析】先证明△ABC∽△ADB，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.
【详解】∵，，
∴△ABC∽△ADB，
∴,
∵，，
∴，
∴AD=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
17、2π
【分析】设∠OAC＝n°．根据S阴＝S半圆＋S扇形BAB′−S半圆＝S扇形ABB′，构建方程求出n即可解决问题．
【详解】解：设∠OAC＝n°．
∵S阴＝S半圆+S扇形BAB′﹣S半圆＝S扇形ABB′，
∴＝8π，
∴n＝45，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴的长＝＝2π，
故答案为2π．
【点睛】
本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式，弧长公式．
18、3π
【详解】．
故答案为：．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）15
【分析】（1）利用平行线性质及角平分线线定理得到∠DEB=∠DBE，再利用等腰三角形判定得到BD=DE ，即得到答案.
（2）利用相似的判定得到△ADE∽△ABC，再利用相似的性质得到，代入值即可得到答案.
【详解】（1）证明： ∵DE // BC，
∴∠DEB=∠EBC
∵ BE平分∠ABC
∴∠DBE=∠EBC
∴∠DEB=∠DBE
∴BD=DE
(2) 解：∵AB=10，AD=4
∴BD=DE=6
∵DE // BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴BC=15
【点睛】
本题考查平行线性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20、（1）200；（2）.
【分析】(1) 根据AB的坡度得，再根据∠BAH的正弦和斜边长度即可解答；（2）过点作于点，得到矩形，再设米，再由∠DBE=60°的正切值，用含x的代数式表示DE的长，而矩形中，CE=BH=200米，可得DC的长，米，最后根据△ADC是等腰三角形即可解答.
【详解】解：（1）在中，，∴
∴米
（2）过点作于点，如图：
∴四边形是矩形，∴米
设米
∴在中，米
∴米
在中
∴米
在中，，∴
即
解得
∴米
（本题也可通过证明矩形是正方形求解.）
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度．
21、（1）详见解析， ，，．（2）详见解析， ，，．
【分析】分别按照小聪和小明的作法列表，描点，连线画出图象然后找近似值即可.
【详解】解法：选择小聪的作法，
列表并作出函数的图象：
…
-1
0
1
2
…
…
…
根据函数图象，得近似解为 ，，．
解法2：选择小明的作法，
列表并作出函数和的图象：
…
-1
0
1
2
3
…
…
…
…
-2
-1
1
2
…
…
…
根据函数图象，得近似解为 ，，.
【点睛】
本题主要考查根据函数图象求方程的近似解，能够画出函数图象是解题的关键.
22、
【分析】已知抛物线的顶点，故可设顶点式，由顶点可知，将点代入即可.
【详解】解：设
将点代入得
解得
所以
【点睛】
本题考查了抛物线的解析式，由题中所给点的特征选择合适的抛物线的解析式的设法是解题的关键.
23、 (1)；(2)不公平，规则见解析.
【解析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再得出得点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）首先分别求得x、y满足xy>6则小明胜，x、y满足xy<6则小红胜的概率，比较概率大小，即可得这个游戏是否公平；公平的游戏规则：只要概率相等即可．
【详解】(1)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果,其中在函数y=−x+5的图象上的有4种：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，
∴点(x,y)在函数y=−x+5的图象上的概率为：
(3)这个游戏不公平.
理由：∵x、y满足xy>6有：(2,4),(3,4),(4,2),(4,3)共4种情况,x、y满足xy<6有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)共6种情况.
∴P(小明胜)=,P(小红胜)=,
∴这个游戏不公平。
公平的游戏规则为：若x、y满足则小明胜，若x、y满足xy<6则小红胜.
【点睛】
考查游戏公平性，一次函数图象上点的坐标特征，列表法与树状图法，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ADE∽△BDA；
（2）由点E在中线BD上，可得，又由∠CDE=∠BDC，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得△CDE∽△BDC，继而证得∠DEC=∠ACB．
【详解】解：证明：（1）∵∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA；
（2）∵D是AC边上的中点，
∴AD=DC，
∵△ADE∽△BDA
∴，
∴，
又∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC=∠ACB．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
25、（1）；（2）；（3）点的坐标为，
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）根据特殊角的三角函数值，得到，过点作与点，则，然后根据面积公式，即可得到答案；
（3）由（2）可知，当时，取最大值，得到点Q的坐标，然后求出点D和点F的坐标，再根据平行四边形的性质，有，然后列出等式，即可求出点M的坐标.
【详解】解：（1）经过、两点
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2），，
，
∴，
，
过点作于点，则
∴，
；
（3）存在符合条件的点，理由如下：
由⑵得，，
∴当时，取最大值，此时，，
又∵点在抛物线上；
当时，，
的坐标为，的坐标为.
设的坐标为，则
∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形.
由，
解得：或；
∴符合条件的点的坐标为：，.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，求二次函数的解析式，平行四边形的性质，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练运用数形结合的思想进行解题.
26、（1）详见解析；（2）△ACE为直角三角形，理由见解析；（3）∠AEC=45°．
【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理易证△APE≌△CFE，由全等三角形的性质即可得结论；（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质即可判定△ACE为直角三角形；②根据PE∥CF，得到，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AC
∵四边形BPEF为正方形
∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP
∵AP=AB+BP,CF=BC+BF
∴CF=AP
在△APE和△CFE中：EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF
∴△APE≌△CFE
∴EA=EC
（2）①∵P为AB的中点，
∴PA=PB，又PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a
∵PE∥CF，
∴，即，
解得，a=b；
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．
∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．
考点：四边形综合题．
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