资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下列命题中正确的个数是（）
①两条直线，没有公共点，那么，是异面直线
②若直线上有无数个点不在平面内，则
③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
④若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
A. B.
C. D.
2．函数的零点个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
3．下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．关于函数的叙述中，正确的有（）
①的最小正周期为；
②在区间内单调递增；
③是偶函数；
④的图象关于点对称.
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
5．下列函数中，与函数有相同图象的一个是
A. B.
C. D.
6．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
7．在空间直角坐标系中，已知球的球心为，且点在球的球面上，则球的半径为（）
A.4 B.5
C.16 D.25
8．若幂函数的图象经过点，则的值为（）
A. B.
C. D.
9．命题“，”的否定为（）
A.， B.，
C， D.，
10．已知、为非零向量，“=”是“=”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11．已知函数，则该函数的零点位于区间（）
A. B.
C. D.
12．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）
A.证明所有实数的平方都不是正数
B.证明平方是正数的实数有无限多个
C.至少找到一个实数，其平方是正数
D.至少找到一个实数，其平方不是正数
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数是奇函数，当时，，若，则m的值为______.
14．已知向量不共线，，若，则___
15．若函数在单调递增，则实数的取值范围为________
16．函数的图象与轴相交于点，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，则_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若函数，讨论函数的零点个数.
18．已知函数，.
（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
19．已知函数的图象在直线的下方且无限接近直线.
（1）判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并用定义证明；
（3）求函数的值域.
20．已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；.
（1）当n=3时，设，，写出α-β，并计算；
（2）若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
（3）若α，，且，任取，求的值.
21．定义在R上的函数对任意的都有，且，当时.
（1）求的值，并证明是R上的增函数；
（2）设，
（i）判断的单调性（不需要证明）
（ii）解关于x的不等式.
22．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
【详解】①两条直线，没有公共点，那么，平行或异面直线，故错误；
②若直线上有无数个点不在平面内，则或相交，故错误；
③由空间角定理知，正确；
④由直线与平面平行的定义知，正确；
故选：C
2、B
【解析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可
【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数．在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3
故选：B.
3、A
【解析】利用平面向量的加法、加法法则可判断ABD选项的正误，利用平面向量数量积可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，，A选项正确；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项错误.
故选：A.
4、C
【解析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.
【详解】，
∴最小正周期，①错误；
令，则在上递增，显然当时，②正确；
，易知为偶函数，③正确；
令，则，，易知的图象关于对称，④错误；
故选：C
5、B
【解析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同.
【详解】逐一考查所给的选项：
A.，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；
B.，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同；
C.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
D.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.
6、D
【解析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集
【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为
故选：D
7、B
【解析】根据空间中两点间距离公式,即可求得球的半径.
【详解】球的球心为,且点在球的球面上,
所以设球的半径为
则.
故选:B
【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式的简单应用,属于基础题.
8、C
【解析】由已知可得，即可求得的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：C.
9、B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，
可得命题“，”的否定为“，”
故选：B.
10、A
【解析】根据“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】已知、为非零向量，故由可知，；
当时，比如，推不出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
11、B
【解析】分别将选项中区间的端点代入,利用零点存在性定理判断即可
【详解】由题,,,,
所以,
故选:B
【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,属于基础题
12、D
【解析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.
【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】由奇函数可得,则可得,解出即可
【详解】因为是奇函数,,所以,即,解得
故答案为：
【点睛】本题考查利用奇偶性求值,考查已知函数值求参数
14、
【解析】由，将表示为的数乘，求出参数
【详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得
【点睛】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得
15、
【解析】根据复合函数单调性性质将问题转化二次函数单调性问题，注意真数大于0.
【详解】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.
故答案为：
16、
【解析】根据图象可得，由题意得出，即可求出，再代入即可求出，进而得出所求.
【详解】由函数图象可得，
相邻的两条对称轴之间的距离为，，则，，
，
又，即，，或，
根据“五点法”画图可判断，，
.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）根据题意条件，分别求解的定义域和解对数不等式即可完成求解；
（2）通过题意条件，找到和两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；
（3）通过题意条件，通过讨论的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求解.
【小问1详解】
函数，由，可得，即的定义域为；
不等式，所以
，即为，
解得，
则原不等式的解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，
显然单调递减，所以其值域为；
若，则在上单调递减，所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在递增，可得的值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
小问3详解】
由，
得，令，则，
画出的图象，
当，只有一个，对应3个零点，
当时，，
此时，
由，
得在，三个分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当时，只有1个零点，
当或时，有3个零点，
当时，有5个零点.
【点睛】方法点睛：对于“存在，使得成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.
18、（1）
（2）
（3）图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1
【解析】（1）根据题意可得，平方即可求解.
(2)由题意比较与大小，从而可得出答案.
(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.
【小问1详解】
由，得且，解得，；
所以方程的解集为
【小问2详解】
由已知得.
【小问3详解】
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
19、（1）函数在上单调递增，
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据函数的单调性情况直接判断；
（2）根据奇偶性的定义直接判断；
（3）由奇偶性直接判断值域.
【小问1详解】
因为随着增大，减小，即增大，故随增大而增大，所以函数在上单调递增.
由的图象在直线下方，且无限接近直线，得，
所以函数的解析式.
【小问2详解】
由（1）得，整理得，
函数定义域关于原点对称，，
所以函数是奇函数.
小问3详解】
方法一：由（1）知，
由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故，
所以函数的值域为.
方法二：由，得，得，得，得，得，所以函数的值域为.
20、（1），
（2）最大值是4，此时或，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；
（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
最大值是4.
此时或.
若还有第5个元素，则必有，和，和，和，之一出现，其对应的，不符合题意.
【小问3详解】
证明：设，，，
所以，，，，（）
从而，
又，
当时，；
当时，.
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法、反证法是解题的关键.
21、（1），证明见解析
（2）（i）在上是单减单减函数（ii）
【解析】(1) 令可得，再可得答案，设，则，所以可证明单调性；
(2) （i）根据复合函数的单调性法则可得答案; （ii）由题意可得，，结合函数的单调性可得的解为，则原不等式等价于，从而可得答案.
【小问1详解】
在中，令可得，则
令可得，可得
任取且，则，所以
则
即，所以是R上的增函数
【小问2详解】
（i）由在上是单减单减函数，又单调递增
由复合函数的单调性规律可得在上是单减单减函数.
（ii）由，
所以的解为
从而不等式的解为
，即
即，整理可得
即，解得或，所以或
所以原不等式的解集为
22、（1），（2）
【解析】
分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，
（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的可求得结果
【详解】（1）由图可知直线的斜率为，
所以图像中线段的方程为，
因为点在曲线上，所以，解得，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，
即，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室
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