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2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第五讲 幂函数与二次函数学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第五讲 幂函数与二次函数学案新人教版

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第五讲　幂函数与二次函数

知识梳理·双基自测

知识点一　幂函数
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象

定义域
R
R
R
__{x|x≥0}__
__{x|x≠0}__
值域
R
__{y|y≥0}__
R
__{y|y≥0}__
__{y|y≠0}__
奇偶性
__奇__函数
__偶__函数
__奇__函数
__非奇非偶__函数
__奇__函数
单调性
在R上单调递增
在__(－∞，0)__上单调递减，在__(0，＋∞)__上单调递增
在R上单调递增
在__[0，＋∞)__上单调递增
在__(－∞，0)__和__(0，＋∞)__上单调递减
公共点
__(1,1)__
知识点二　二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象

定义域
R
R
值域
____
____
单调性
在____上单调递减，在上单调递增
在____上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减
顶点坐标
____
奇偶性
当__b＝0__时为偶函数
对称轴
函数的图象关于直线x＝－成轴对称

1．二次函数解析式的三种形式：
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．一元二次不等式恒成立的条件：
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝x0的图象是一条直线．(　×　)
(2)幂函数的图象不可能出现在第四象限．(　√　)
(3)若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数．(　×　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数．(　√　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1P79T1改编)若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为__1或2__.
[解析]　由解得m＝1或m＝2.
经检验m＝1或m＝2都适合．
3．(必修1P39BT1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为__y＝x－__，在区间__(0，＋∞)__上单调递减．
[解析]　∵f(x)的图象过点，
∴2α＝＝2－，∴α＝－，∴f(x)＝x－.
由f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，＋∞)．
4．(必修1P44AT9改编)二次函数y＝f(x)满足f(－1)＝f(3)，x1，x2是方程f(x)＝0的两根，则x1＋x2＝__2__.
题组三　走向高考
5．(2018·上海，7,5分)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝__－1__.
[解析]　本题主要考查幂函数的图象和性质．
∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.
6．(2017·浙江卷，5)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　B　)
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，且与b有关
[解析]　f(x)＝2－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，∴M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B．

考点突破·互动探究
考点一　幂函数图象与性质——自主练透
例1 (1)(2021·河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数y＝f(x)的图象，经过点(2,2)，则幂函数的解析式为(　C　)
A．y＝2x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　B　)

A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(3)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　B　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
(4)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是____.
[解析]　(1)幂函数y＝f(x)＝xα的图象经过点(2,2)，
∴2α＝2，解得α＝，∴幂函数的解析式为y＝x.故选C．
(2)由幂函数图象性质知，在x＝1右侧从下至上次数依次增大，故选B．
(3)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B．
(4)由幂函数y＝性质得，解得－1≤a<.故填.

名师点拨
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考点二　二次函数的图象与性质
考向1　二次函数的解析式——师生共研
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．
[解析]　解法一：利用“一般式”解题：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：利用“顶点式”解题：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：利用“零点式”解题：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8，
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

名师点拨
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

〔变式训练1〕
(1)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝__x2＋x－__.
(2)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－2x＋3__.
[解析]　(1)解法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得解得
所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
解法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得解得
所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
解法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.
由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
将点(1,0)代入，得a＝，
所以f(x)＝(x＋2)2－1，
即f(x)＝x2＋x－.
(2)由f(0)＝3，得c＝3，
又f(1＋x)＝f(1－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.
考向2　二次函数的图象和性质——多维探究
角度1　二次函数的图象
例3 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　C　)

[解析]　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B．

名师点拨
二次函数图象的识别方法
二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．
角度2　利用二次函数的图象和性质求最值
例4 已知f(x)＝x2－2x＋5.
(1)若x∈R，则函数f(x)的最小值为__4__；
(2)若x∈[－1,2]，则函数f(x)的最小值为__4__，最大值为__8__；
(3)若x∈[t，t＋1]，则函数f(x)的最小值为____.
[分析]　对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论．
[解析]　(1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，
∴f(x)的最小值为4.
(2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1,2]，
∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.
(3)∵f(x)的对称轴为x＝1.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5，
当t<1<t＋1即0<t<1时，f(x)在[t,1]上单调递减，在[1，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋5＝4.
当t＋1≤1即t≤0，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋4.
∴f(x)min＝
[引申]在(3)的条件下，求f(x)的最大值．
[解析]　①当≥1即t≥时f(x)最大值为f(t＋1)＝t2＋4
②当<1，即t<时f(x)最大值为f(t)＝t2－2t＋5.
综上所述，f(x)max＝

名师点拨
二次函数求最值问题，一般先用配方法化成形如y＝a(x＋b)2＋c的形式，若x∈R，a>0，则ymin＝c，若x∈R，a<0，则ymax＝c.当定义域不是R时，常见的题型有三种：(1)区间确定，对称轴确定，此类题型只需结合二次函数便可求出最值；(2)区间确定，对称轴变化(含参)；(3)对称轴确定，区间不确定(含参)．(2)(3)两类问题，通常要把－与区间端点、中点比较，分类求解．
角度3　二次函数中的恒成立问题
例5 (1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____.
(2)(2021·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－1)__.
[解析]　(1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，

则有
即
解得－<m<0.
(2)方法1：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
方法2：f(x)>2x＋m等价于m<x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，其图象的对称轴x＝>1，
所以g(x)在区间[－1,1]上递减，
则g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．

名师点拨
二次函数中恒成立问题的求解思路
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
注：a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min，a≤f(x)有解⇔a≤f(x)max.
〔变式训练2〕
(1)(角度1)设b≥0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值不可能为(　C　)

A． B．
C．1 D．－1
(2)(角度2)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　D　)
A． B．1或
C．－1或 D．－5或
(3)(角度3)(2021·石家庄模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为____.
[解析]　(1)当b＝0时，对称轴为y轴，a＝时开口向下，a2－1>0，A正确．a＝时开口向上，a2－1<0，B正确；当b>0时，对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1.故选C．
(2)f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0<<1，即0<a<2时，f(x)max＝f＝－4a.
令－4a＝－5，得a＝.
③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，解得a＝－5或a＝1(舍去)．
综上所述，a＝或－5.故选D．
(3)解法一：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得a>－＋在(1,4)上恒成立．
令g(x)＝－＋＝－22＋，
∈，所以g(x)max＝g(2)＝，
所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可．
解法二：当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，
显然f(4)＝－6，不合题意，∴a≠0
①当a>0时，二次函数f(x)开口向上，对称轴为x＝.
ⅰ.若≤1即a≥1时，f(x)min＝f(1)＝a>0，即a≥1.
ⅱ.若≥4即0<a≤时，f(x)min＝f(4)＝16a－6>0得a>矛盾．
ⅲ.若1<<4即<a<1时，f(x)min＝f＝－＋2>0得a>.即<a<1.
②当a<0时，由题意知，即，解得a>矛盾．
综上可知a的取值范围是.
[引申]若将“一切x值都有f(x)>0”改为“f(x)>0有解”呢？
[解析]　由解法一知a>－＋在(1,4)上有解．
即a>min＝g(1)＝0，
∴a的取值范围是(0，＋∞)．

名师讲坛·素养提升
转换变量——解决二次函数问题中的核心素养
例6 (2021·沧州七校联考)已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．
(1)对任意x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．
[解析]　(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为当x∈[－3,3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数性质可知h(x)max＝h(3) ＝86－k，有86－k≤0，得k≥86.
(2)由题意，存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3,3]时有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10.
(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]．由二次函数的性质可得，f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2.得k≥118.
[答案]　(1)k≥86　(2)k≥－10　(3)k≥118
[探究]　 本题的三个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．

名师点拨
二次函数中恒成立问题的求解思路
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
〔变式训练3〕
已知函数f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是____.
[解析]　当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1,3]．
因为对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，
使得g(x1)＝f(x0)，
所以
即当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．
所以当a>0时，
解得a≤，故实数a的取值范围是.