2022版高考数学一轮复习-第二章-函数、导数及其应用-第九讲-函数与方程学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程学案 新人教版2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程学案 新人教版年级：姓名：第九讲函数与方程知识梳理双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一函数的零点1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点注：函数的零点不是点是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是yf(x)与x轴的交点2几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根知识点二二分法1对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度，即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)重要结论1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号(5)若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点双基自测题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)二次函数yax2bxc(a0)在当b24ac0时没有零点()(3)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(5)函数y2x与yx2只有两个交点()解析(1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标(2)当b24ac0.(4)若在区间a，b内有多个零点，f(a)f(b)0也可以(5)yx2与y2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x2和x4处都有交点题组二走进教材2(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)A(1，2) B(2，3) C(3，4) D(4，5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是(D)A函数f(x)在区间(0，1)内有零点B函数f(x)在区间(1，2)内有零点C函数f(x)在区间(0，2)内有零点D函数f(x)在区间(0，4)内有零点(2)(2021开封模拟)函数f(x)xln x3的零点所在的区间为(C)A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)(3)(多选题)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的零点位于区间可能为(BC)A(，a) B(a，b)C(b，c) D(c，)解析(1)因为f(1)f(2)f(4)0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(2)0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(4)0，则在(0，4)内有零点故选D(2)解法一：利用零点存在性定理因为函数f(x)是增函数，且f(2)ln 210，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选C解法二：数形结合函数f(x)xln x3的零点所在区间转化为g(x)ln x，h(x)x3的图象的交点横坐标所在范围如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内(3)易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C名师点拨MING SHI DIAN BO确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断考向2函数零点个数的确定师生共研例2(1)函数f(x)的零点个数为(B)A3 B2 C7 D0(2)已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数为5解析(1)解法一：(直接法)由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点(2)令2f2(x)3f(x)10，解得f(x)1或f(x)，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)1或f(x)时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为5.名师点拨MING SHI DIAN BO函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为(C)A1 B2 C3 D4(3)(2020河南名校联考)函数f(x)则函数g(x)3f(x)28f(x)4的零点个数是(A)A5 B4 C3 D6解析(1)由已知得yf(x)3x令x2x0，解得x0或x1.令13x0(x0)可得3x2x10.因为1120，所以方程3x2x10无实根所以yf(x)3x的零点个数是2.(2)f(x)exx3在(0，)上为增函数，fe0，f(x)在(0，)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(，0)上也有一个零点，又f(0)0，所以f(x)有三个零点，故选C(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系函数g(x)3f(x)28f(x)43f(x)2f(x)2的零点，即方程f(x)和f(x)2的根函数f(x)的图象如图所示，由图可得方程f(x)和f(x)2共有5个根，即函数g(x)3f(x)28f(x)4有5个零点考向3函数零点的应用多维探究角度1与零点有关的比较大小例3已知函数f(x)2xx，g(x)xlogx，h(x)log2x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(D)Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx1x3x2 Dx3x2x1解析由f(x)2xx0，g(x)xlogx0，h(x)log2x0，得2xx，xlogx，log2x，在平面直角坐标系中分别作出y2x与yx的图象；yx与ylogx的图象；ylog2x与y的图象，由图可知：1x10，0x21.所以x3x2x1.角度2已知函数的零点或方程的根求参数例4(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(C)A1，0) B0，)C1，) D1，)解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点由图知a1，a1.名师点拨MING SHI DIAN BO 1比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小；(2)数形结合法2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解变式训练2(1)(角度1)(2021安徽蚌埠月考)已知函数f(x)3xx，g(x)log3xx，h(x)x3x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(B)Aabc Bacbc Dcab(2)(角度2)(2021杭州学军中学月考)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(D)A(，1) B(，1C1，0) D(0，1分析(1)解法一：依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y3x、ylog3x、yx3与yx的图象，比较其交点横坐标的大小即可解析(1)解法一：f(1)311，f(0)1，a，又glog3，g(1)1，b，显然c0，acb，故选B解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y3x、ylog3x、yx的图象，结合图象及c0可知ac0，a0，c0时，f(x)2x1，由f(x)0得x，要使f(x)在R上有两个零点，则必须2xa0在(，0上有解又当x(，0时，2x(0，1故所求a的取值范围是(0，1考点二 二分法及其应用自主练透例5(1)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0(0，0.5)，第二次应计算f(0.25)(2)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为(3)在用二分法求方程x22的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是1.4，1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7解析(1)因为f(0)0，由二分法原理得一个零点x0(0，0.5)；第二次应计算ff(0.25)(2)区间(1，2)的中点x0，令f(x)x32x1，f40，则根所在区间为.(3)设至少需要计算n次，由题意知100.由2664，27128，知n7.名师点拨MING SHI DIAN BO1用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断2利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0时x2xa即x2xa0有两个不等正根，不妨记为x2，x3，则14a0，即a，从而a2且x2x3a.x1x2x3，故选A解法二：作出yf(x)及ya的图象，显然0a，不妨设x1x2x3显然x10，x30，x1x2x30排除C、D，又当x2趋近x3时，x2x3趋近，x1趋近，故x1x2x3趋近.故选A名师点拨MING SHI DIAN BO以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题变式训练3(2021东北三省四市模拟)已知函数f(x)若f(x)a(aR)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是(B)A(，1) B0，1)C(0，1) D(1，)解析本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围设四个根依次为x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)，则2x11，1x20，x1x22，由|lg x3|lg x4|，得lg x3lg x4，则lg x3lg x4lg(x3x4)0，x3x41，x1x2x3x4x1x2(2x2)x2(x21)210，1)故选B