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2022版高考数学一轮复习 练案8 第二章 函数、导数及其应用 第五讲 幂函数与二次函数新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案8 第二章 函数、导数及其应用 第五讲 幂函数与二次函数新人教版

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姓名：

第五讲　幂函数与二次函数
A组基础巩固
一、单选题
1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　D　)
A．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数
B．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数
C．奇函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数
D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数
[解析]　设幂函数f(x)＝xa，则f(3)＝3a＝，解得a＝，
则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数．
2．(2020·湖北鄂东南省级示范高中教育改革联盟期中)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　D　)

A．－1<m<0<n<1　　 B．－1<n<0<m
C．－1<m<0<n　　 D．－1<n<0<m<1
[解析]　取x＝，由图易知<m<1<n<－1，∴－1<n<0<m<1.故选D.
3．(2021·北京昌平区月考)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝(　A　)
A．－1　　 B．2
C．－1或2　　 D．
[解析]　由于函数f(x)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递减．故选A.
4．(2021·福建长庆中学月考)函数y＝x2－x＋1，x∈[－1,1]的最大值与最小值之和为(　B　)
A．1.75　　 B．3.75
C．4　　 D．5
[解析]　函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，则y＝x2－x＋1在上单调递减，在上单调递增，∴ymax＝(－1)2－(－1)＋1＝3，ymin＝2－＋1＝，∴ymax＋ymin＝3＋＝3.75，故选B.
5．(2021·清华附中统练)函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　D　)
A.　　 B．(－∞，0]
C.　　 D．
[解析]　若a＝0，则f(x)＝x－3，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，符合题意，若a≠0，因为f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，故解得0<a≤.综上，0≤a≤.故选D.
6．(2021·浙江台州一中月考)设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足f(a)＝f(b)，则f(2)＝(　C　)
A．7　　 B．5
C．4　　 D．2
[解析]　由f(x)＝x2＋ax＋b可得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－.又由a≠b，f(a)＝f(b)得f(x)图象的对称轴为直线x＝，所以－＝，得2a＋b＝0，所以f(2)＝4＋2a＋b＝4，故选C.
7．(2021·福州模拟)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈恒有y≥0成立，则a的最小值是(　C　)
A．0　　 B．2
C．－　　 D．－3
[解析]　设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则g(x)≥0在x∈上恒成立，即a≥－在x∈上恒成立．又h(x)＝－在x∈上为单调递增函数，当x＝时，h(x)max＝h，所以a≥－即可，解得a≥－.
二、多选题
8．(2021·江西上饶潘阳一中第一次月考改编)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则m＝(　AB　)
A．1　　 B．2　　
C．0　　 D．3
[解析]　由幂函数定义知m2－3m＋3＝1，得m＝1或m＝2，经检验m＝1和m＝2均满足图象不过原点．故选A、B.
9．如图给出四个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(　BCD　)

A．①y＝x　　 B．②y＝x2
C．③y＝x　　 D．④y＝x－1
[解析]　根据常见幂函数的图象判断或取特殊值，逐个验证知B、C、D正确．
10．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　ABD　)
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
[解析]　由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A、B、D.
三、填空题
11．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为 1 .

[解析]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.
∵m∈Z，∴m＝0,1,2.
而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数．∴m＝1.
12．设二次函数f(x)＝ax2＋bx－2(a≠0)，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝ －2 .
[解析]　由对称性知f(x1＋x2)＝f＝a×＋b×－2＝－2.
13．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是 (3,5) .
[解析]　∵f(x)＝x－＝(x>0)，
∴f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的减函数．
又f(a＋1)<f(10－2a)，
∴解得
∴3<a<5.
14．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，不等式f(x)<－2x的解集为(1,3)，且方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，则f(x)的解析式为 f(x)＝x2－6x＋3 .
[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)．由题意得方程f(x)＝－2x的两个根分别是1,3，即ax2＋(b＋2)x＋c＝0的两个根分别是1,3，故由一元二次方程根与系数的关系可得－＝4，＝3，∴b＝－4a－2，c＝3a，所以f(x)＝ax2－2(2a＋1)x＋3a.再根据方程f(x)＋6a＝0，即ax2－2(2a＋1)x＋9a＝0有两个相等的实根，得Δ＝4(2a＋1)2－36a2＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)，∴f(x)＝x2－6x＋3.
B组能力提升
1．(2021·吉林模拟)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是(　B　)
A．f(－2)>f(1)　　 B．f(－2)<f(1)
C．f(2)＝f(1)　　 D．f(－2)>f(－1)
[解析]　由幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故选B.
2．(多选题)(2020·甘肃武威模拟改编)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
其中正确的结论是(　AD　)

A．b2>4ac　　 B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0　　 D．5a<b.
[解析]　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0.B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a<b，D正确．故选A、D.
3．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(　D　)

[解析]　由于本题中函数为y＝xa(x>0)与y＝logax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误；
对于选项B，由y＝xa(x>0)的图象知a>1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故B错误；
对于选项C，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知a>1，故C错误；
对于选项D，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故选D.
4．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1,3]，f(x)>－m＋2恒成立，则实数m的取值范围(　A　)
A．(3，＋∞)　　 B．
C．(－∞，3)　　 D．
[解析]　由题意，f(x)>－m＋2可得mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3，当x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，所以m>在x∈[1,3]上恒成立，只需m>max，当x＝1时x2－x＋1有最小值为1，则有最大值为3，则m>3，实数m的取值范围是(3，＋∞)，故选A.
5．函数f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在区间[1,3]上满足：①恒有解，则实数a的取值范围为 a<15 ；②恒成立，则实数a的取值范围为 a<3 .
[解析]　①f(x)>a在区间[1,3]上恒有解，等价于a<[f(x)]max，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，当x＝3时，[f(x)]max＝15，故a的取值范围为a<15.②f(x)>a在区间[1,3]上恒成立，等价于a<[f(x)]min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，当x＝1时，[f(x)]min＝3，故a的取值范围为a<3.