2022版高考数学一轮复习-练案7-第二章-函数、导数及其应用-第四讲-函数的奇偶性与周期性新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案7 第二章 函数、导数及其应用 第四讲 函数的奇偶性与周期性新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案7 第二章 函数、导数及其应用 第四讲 函数的奇偶性与周期性新人教版

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第四讲　函数的奇偶性与周期性
A组基础巩固
一、单选题
1．函数f(x)＝－x的图象关于(　C　)
A．y轴对称　　 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称　　 D．直线y＝x对称
[解析]　∵f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于坐标原点对称．
2．(2021·西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　D　)
A．y＝2x　　 B．y＝
C．y＝|x|　　 D．y＝－x2＋1
[解析]　A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.
3．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　D　)
A．f(x)是偶函数　　 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数　　 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[解析]　因为y＝x4＋1(x>0)的值域为(1，＋∞)，且y＝cos 2x(x≤0)的值域为[－1,1]，所以，f(x)的值域为(1，＋∞)∪[－1,1]＝[－1，＋∞)．故选D.
4．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　B　)
A．1　　 B．5　　
C．－1　　 D．－5
[解析]　令g(x)＝f(x)＋x，
由题意可得g(－2)＝g(2)＝f(2)＋2＝3.
又g(－2)＝f(－2)－2，故f(－2)＝g(－2)＋2＝5.
5．(2019·全国Ⅱ，6)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　D　)
A．e－x－1　　 B．e－x＋1
C．－e－x－1　　 D．－e－x＋1
[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，
即f(x)＝－e－x＋1.故选D.
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＋f(x－1)＝0，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝＋log2(－x)，则f＝(　B　)
A．1　　 B．　　
C．－　　 D．－1
[解析]　∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数，
∵f(x＋1)＋f(x－1)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
令x＝x＋1，则f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f＝f＝f＝－f，
又当x∈(－1,0)时，f(x)＝＋log2(－x)，
∴f＝＋log2＝－1＝－，
∴f＝－＝，故选B.
7．(2021·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是(　C　)
A.　　 B．
C.∪　　 D．∪
[解析]　显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>或a<，故选C.
二、多选题
8．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是(　ABC　)
A．函数f[g(x)]是偶函数
B．函数g[f(x)]是偶函数
C．函数f(x)·g(x)是奇函数
D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
[解析]　对于选项A，f[g(x)]是偶函数，A正确；对于选项B，g[f(x)]是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性，故选A、B、C.
9．(2021·山东普通高校招生春季考试)奇函数y＝f(x)的局部图象如图，则下列结论不正确的是(　BCD　)

A．f(2)>0>f(4)
B．f(2)<0<f(4)
C．f(2)>f(4)>0
D．f(2)<f(4)<0
[解析]　因为奇函数y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)．因为f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．故选B、C、D.
10．(2021·吉林长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋ f(2－x)＝0，则下列结论正确的是(　ABD　)
A．f(x)的图象关于点(1,0)对称
B．f(x＋2)＝f(x)
C．f(3－x)＝f(x－1)
D．f(x－2)＝f(x)
[解析]　本题考查函数图象的对称性．对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．
三、填空题
11．若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为 x＝1 .
[解析]　解法一：由已知得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以y＝f(x)关于x＝1对称．
解法二：将y＝f(x＋1)右移1个单位，得到y＝f(x)图象，关于x＝1对称．
12．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝ 7 .－2≤x≤0时，f(x)＝ 2x＋9 .
[解析]　因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.
13．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，则f(x)>0的解集为　∪.
[解析]　由已知可构造y＝f(x)的示意图象，

所以f(x)>0的解集为∪.
14．(2018·课标全国Ⅲ，16)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝ －2 .
[解析]　本题考查函数的奇偶性．
易知f(x)的定义域为R，
令g(x)＝ln(－x)，则g(x)＋g(－x)＝0，
∴g(x)为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝2，
又f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.
B组能力提升
1．(多选题)(2020·陕西西安中学模拟改编)设f(x)－x2＝g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为(　BC　)
A．g(x)＝x3　　 B．g(x)＝cos x
C．g(x)＝x2＋1　　 D．g(x)＝xex
[解析]　因为f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B、C中的函数为偶函数，故选B、C.
2．(2020·全国Ⅱ，10)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　A　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
[解析]　本题考查函数的奇偶性与单调性．由题意，知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又易知y＝x3和y＝－在(0，＋∞)都单调递增，所以函数f(x)＝x3－在(0，＋∞)单调递增，故选A.
3．已知函数f(x)＝asin x＋b＋4，若f(lg 3)＝3，则f＝(　C　)
A．－3　　 B．－5　　
C．5　　 D．0
[解析]　由f(lg 3)＝asin(lg 3)＋b＋4＝3得asin(lg 3)＋b＝－1，而f＝f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－b＋4＝－[asin(lg 3)＋b]＋4＝1＋4＝5.故选C.
4．(2021·黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)<e－的解集为(　A　)
A．(－∞，2)　　 B．(－∞，1)
C．(2，＋∞)　　 D．(1，＋∞)
[解析]　∵f(x)＝ex－ae－x为奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝1－a＝0.则a＝1，即f(x)＝ex－e－x，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，又f(1)＝e－，则不等式f(x－1)<e－等价于f(x－1)<f(1)，即x－1<1，解得x<2，即不等式的解集为(－∞，2)．故选A.
5．(2021·长春市质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　B　)
A．6　　 B．7
C．8　　 D．9
[解析]　因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，
所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.