2021届高考数学统考二轮复习-增分强化练(十二)三角恒等变换与解三角形(理-含解析).doc

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练（十二）三角恒等变换与解三角形（理，含解析）

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练（十二）三角恒等变换与解三角形（理，含解析）

年级：
姓名：

增分强化练(十二)
一、选择题
1．(2019·葫芦岛质检)已知cos x＝，则cos 2x＝(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：由cos x＝得cos 2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝，故选D.
答案：D
2．(2019·桂林、崇左模拟)已知sin＝2cos，则sin 2θ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题得tan＝2，∴＝2，
∴tan θ＝.
当θ在第一象限时，sin θ＝，cos θ＝，
∴sin 2θ＝2××＝.
当θ在第三象限时，sin θ＝－，cos θ＝－，∴sin 2θ＝2×－×－＝.故选C.
答案：C
3．已知sin α＝－，且α是第四象限角，则sin的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由同角三角函数基本关系可得：cos α＝＝＝，
结合两角差的正弦公式可得sin＝sincos α－cossin α＝×＝.故选C.
答案：C
4．(2019·新余模拟)若sin x＝3sin，则sin xcos(π＋x)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：∵sin x＝3sin，
∴sin x＝－3cos x，即tan x＝－3，
又∵sin x·cos(π＋x)＝sin x·(－cos x)＝－sin x·cos x，
∴－sin x·cos x＝＝＝＝，故选A.
答案：A
5．(2019·泰安模拟)函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x的最小正周期为(　　)
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋·＝sin＋，最小正周期为＝π，故选D.
答案：D
6．(2019·淮南模拟)在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且acos B＋bcos A＝2cos C，c＝1，则角C＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为c＝1，故acos B＋bcos A＝2cos C＝2ccos C，
由正弦定理可以得到sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
故sin C＝2sin Ccos C，因C∈(0，π)，所以sin C>0，
故cos C＝，因C∈(0，π)，故C＝，故选B.
答案：B
7．(2019·汕头模拟)函数f(x)＝cos＋cos(π－x)的单调增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：因为f(x)＝cos＋cos(π－x)＝sin x－cos x＝2sin，
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
即函数f(x)＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
故选C.
答案：C
8．(2019·济宁模拟)将函数f(x)＝sin xcos x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对于任意x∈R都有g(θ＋x)＝g(θ－x)，则tan 2θ＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：由f(x)＝sin xcos x＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，
得g(x)＝sin 2＝sin.
又因为g(θ＋x)＝g(θ－x)，所以g(x)的图象关于x＝θ对称，
令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以θ＝＋，k∈Z，
故tan 2θ＝tan 2＝tan＝tan＝－.
故选C.
答案：C
9．已知f(x)＝4cos xcos，则下列说法中错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数f(x)的图象可以由函数y＝cos＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到
D.是函数f(x)图象的一个对称中心
解析：f(x)＝4cos xcos＝2cos2x－sin 2x＝2cos＋1，所以T＝＝π，故A正确；
当x∈时，2x＋∈，因t＝2x＋在为增函数，y＝2cos t＋1在上为减函数，故f(x)在上为减函数，故B正确；函数f(x)的图象可以由函数y＝cos＋图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到，而函数y＝cos＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y＝2cos＋2的图象，故C错误；令2x＋＝kπ＋，k∈Z，当k＝1时，x＝，故为f(x)图象的一个对称中心，故D正确；故选C.
答案：C
10．(2019·葫芦岛质检)△ABC的周长为10＋2，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则△ABC的面积为(　　)
A．6 B．4
C．8 D．12
解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，可得a∶b∶c＝2∶3∶，
于是可设a＝2k，b＝3k，c＝k(k＞0)，
由余弦定理可得cos B＝＝＝，∴sin B＝＝.
又2k＋3k＋k＝10＋2，∴k＝2，即a＝4，c＝2，
由面积公式S△ABC＝acsin B，得×4×2·＝6， △ABC的面积为6.故选A.
答案：A
11．(2019·威海模拟)在△ABC中，AC＝3，向量在上的投影的数量为－2，S△ABC＝3，则BC＝(　　)
A．5 B．2
C. D．4
解析：∵向量在上的投影的数量为－2，
∴||cos A＝－2.①
∵S△ABC＝3，
∴||||sin A＝||sin A＝3，
∴||sin A＝2.②
由①②得tan A＝－1，
∵A为△ABC的内角，
∴A＝，
∴||＝＝2.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos＝(2)2＋32－2×2×3×＝29，∴BC＝.故选C.
答案：C
12．(2019·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈时，方程g(x)－k＝0恰有两个不同的实根，则实数k的取值范围为(　　)
A．[1,3] B．[1,2)
C．(－2,0)∪(0,2) D．[3,2)
解析：由题意，根据辅助角公式，可得函数
f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到f1(x)＝2sin，
再把函数f1(x)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g(x)＝2sin，
因为x∈，则2x＋∈，
令≤2x＋≤，解得0≤x≤，即函数g(x)在上单调递增，
令≤2x＋≤，解得≤x≤，即函数g(x)在上单调递减，
且g(0)＝2sin＝1，g＝2sin＝2，g()＝2sin＝－1，要使得方程g(x)－k＝0恰好有两个不同的实数根，即y＝g(x)与y＝k有两个不同的交点，结合图象，可得实数k的取值范围是1≤k<2，即[1,2)．
答案：B
二、填空题
13．已知sin α＝，α∈， tan＝________.
解析：因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－，tan α＝－，
因此tan＝＝＝.
答案：
14．(2019·南昌模拟)已知sincos＝－，则sin α＝________.
解析：将sincos＝－化简，可得·
＝－，
即··＝－，即2＝，
即sin2＋cos2－2·cos·sin＝，
利用二倍角公式可得，sin α＝－.
答案：－
15．(2019·开封模拟)已知在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠ABC＝，则该三角形的面积是________．
解析：由题得49＝a2＋25－2·a·5·，
所以a＝3，
所以三角形的面积为×3×5·sin＝.
答案：
16．(2019·合肥模拟)在锐角△ABC中，BC＝2，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD长的取值范围是________．
解析：设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝2，对sin B＋sin C＝2sin A运用正弦定理，得到b＋c＝2a＝4，解得c＝4－b，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组，解得<b<，
故bc＝b(4－b)＝－b2＋4b，结合二次函数性质，得到<bc≤4，运用向量得到＝(＋)，
所以||＝
＝＝
＝，结合bc的范围，代入，得到||的范围为.
答案：
三、解答题
17．(2019·兰州模拟)已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若cos2B－sin2A－sin Asin B＝cos2C.
(1)求角C的大小；
(2)若A＝，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.
解析：(1)由cos2B－sin2A－sin Asin B＝cos2C，
得sin2A＋sin Asin B＝sin2C－sin2B，
由正弦定理，得c2－b2＝a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos C＝＝＝－.
又0<C<π，则C＝.
(2)因为A＝，所以B＝.
所以△ABC为等腰三角形，且顶角C＝.
因为S△ABC＝absin C＝ab＝，
所以a＝2.
在△MAC中，AC＝2，CM＝1，C＝，
所以AM2＝AC2＋CM2－2AC·CM·cos C＝4＋1＋2×2×1×＝7，
解得AM＝.
18．(2019·泰安模拟)已知函数f(x)＝cos xcos－，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝，c＝2，且·＝，求a的值．
解析：(1)f(x)＝cos x－
＝－
＝－
＝
＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)f(A)＝sin＝，
即sin＝1，
∵A∈(0，π)，
∴2A＋∈，
∴2A＋＝，
即A＝.
又·＝2bcos＝，
∴b＝，
∴a2＝4＋－2×2××＝，
∴a＝.