2022版高考数学一轮复习-课后限时集训-27-简单的三角恒等变换.doc

2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 27 简单的三角恒等变换

2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 27 简单的三角恒等变换

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姓名：

课后限时集训(二十七)　简单的三角恒等变换
建议用时：40分钟

一、选择题
1．(2020·赤峰模拟)tan 15°－＝(　　)
A．－ B．2
C．－2 D．4
C　[tan 15°－＝－＝＝＝－2，故选C.]
2．(多选)下列四个等式，其中正确的是(　　)
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝
B．＝1
C．cos2－sin2＝
D．－＝4
AD　[对A：tan 60°＝tan(25°＋35°)＝＝，故tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，故正确；
对B：＝tan 45°＝，故错误；
对C：cos2－sin2＝cos＝，故错误；
对D：－＝＝＝＝4，故正确．
故选AD.]
3．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)
B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)
D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
A　[因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，
sin 2α＝2sin 2β，
所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，
整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，
两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，
得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.]
4．(2020·赣州模拟)若cos 78°＝m，则sin(－51°)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
A　[由cos 78°＝m，得cos 102°＝cos(180°－78°)
＝－cos 78°＝－m.
又cos 102°＝1－2sin251°，
∴sin251°＝，
∴sin 51°＝，
∴sin(－51°)＝－sin 51°＝－，故选A.]
5．已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[sin2＋cos＝＋＝，
整理得sin A＝.
又A，B均为钝角，∴cos A＝－，cos B＝－，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.
又π＜A＋B＜2π，
∴A＋B＝，故选C.]
6．在上，满足方程sin＝cos的x值为(　　)
A． B．±
C． D．±
C　[由sin＝cos得cos 2x＝sin x，
即2sin2x＋sin x－1＝0，
解得sin x＝或sin x＝－1.
由于x∈，
∴sin x＝，
∴x＝，故选C.]
二、填空题
7．(2020·山东烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝________，tan 2θ＝________.
　－　[法一：由sin＝，得sin θ－cos θ＝，可得2sin θcos θ＝，
又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
法二：∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，解得tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.]
8．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.
－π　[依题意有
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
又
∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－＜α＜0且－＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.]
9．函数y＝sin xcos的最小正周期是________．
π　[y＝sin xcos＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－·＝sin－，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.]
三、解答题
10．已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
[解]　(1)coscos
＝cossin
＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝－×－×＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－
＝＝＝－2×＝2.
11．已知0＜α＜＜β＜π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
[解]　(1)∵cos＝cos cos β＋sin sin β＝cos β＋sin β＝，
∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，
∴sin 2β＝－.
(2)∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β－＜，＜α＋β＜，
∴sin＞0，cos(α＋β)＜0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos
＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.

1．已知cos＝－，则sin的值为(　　)
A． B．±
C．－ D．
B　[∵cos＝－，
∴cos＝cos＝－cos＝，
即1－2sin2＝，
即sin2＝，
∴sin＝±.]
2．(2020·广西玉林模拟)若α∈(0,2π)，则满足4sin α－＝4cos α－的所有α的和为(　　)
A． B．2π
C． D．
D　[由4sin α－＝4cos α－得
4(sin α－cos α)＝－＝.
∴sin α－cos α＝0或4sin αcos α＝1，
即tan α＝1或sin 2α＝.
∵α∈(0,2π)，
∴α＝，，，，，，
∴满足条件的所有α的和为
＋＋＋＋＋＝，故选D.]
3．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求tan 2α的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
[解]　(1)角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，
∴tan α＝＝，cos α＝－，sin α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－.
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，则cos(α＋β)＝±＝±.
当cos(α＋β)＝时， cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－.
当cos(α＋β)＝－时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.