2022版高考数学一轮复习-第十章-计数原理、概率、随机变量及其分布第三讲-二项式定理学案新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第三讲 二项式定理学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第三讲 二项式定理学案新人教版

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第三讲　二项式定理(理)

知识梳理·双基自测

知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二项式系数__，式中的__Can－kbk__叫做二项展开式的__通项__，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第__k＋1__项：Tk＋1＝__Can－kbk__．
知识点二　二项展开式形式上的特点
(1)项数为__n＋1__．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__．
(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n．
知识点三　二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是__C＝C__．
(2)二项式系数先增后减，中间项最大．
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__．

1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　×　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Can－kbk．(　×　)
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n．(　×　)
(6)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(　×　)
题组二　走进教材
2．(P31例2(2))若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　B　)
A．10 B．20
C．30 D．120
[解析]　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·()k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20．
3．(P41B组T5)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　B　)
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8．
题组三　走向高考
4．(2020·新课标)6的展开式中常数项是__240__(用数字作答)．
[解析]　展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝2rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，故常数项为24C＝240．
5．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　C　)
A．15 B．20
C．30 D．35
[解析]　(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C．

考点突破·互动探究
考点一　二项展开式的通项公式的应用——多维探究
角度1　求二项展开式中的特定项或特定项的系数
例1 (1)(2018·课标卷Ⅲ)(x2＋)5的展开式中x4的系数为(　C　)
A．10 B．20
C．40 D．80
(2)(2019·课标Ⅲ，4)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　A　)
A．12 B．16
C．20 D．24
(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　C　)
A．10 B．20
C．30 D．60
[解析]　(1)Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C2rx10－3r，
当10－3r＝4时，解得r＝2，
则x4的系数为C×22＝40，选C．
(2)(1＋x)4的二项展开式的通项为
Tk＋1＝Cxk(k＝0,1,2,3,4)，
故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为C＋2C＝12．故选A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2．
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5．
所以x5y2的系数为CC＝30．故选C．
另解：由乘法法则知5个因式中两个选y项，两个选x2项，一个选x项乘即可，∴x5y2的系数为CC＝30．
角度2　二项展开式中的含参问题
例2 (1)(2021·广东广州阶段测试)6的展开式中的常数项为160，则a的值为(　A　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
(2)(2021·福建三明质检)若(3x2－a)5的展开式中x3的系数为－80，则a＝__－4__．
(3)(2021·河北衡水中学模拟)已知二项式n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为__240__．
[解析]　(1)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)6－r·r＝(－1)rCa6－rx6－2r，由题意得－Ca3＝160，解得a＝－2，故选A．
(2)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·Cx5－2r，则3×23×C＋a×24×C＝－80，解得a＝－4．
(3)由题意得：C∶C＝2∶5，解得n＝6．所以Tr＋1＝C(2x)n－rr＝C26－r(－1)rx6－r, 令6－r＝3，解得：r＝2．所以x3的系数为C26－2(－1)2＝240．

名师点拨
求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2018·浙江，14)二项式8的展开式的常数项是__7__．
(2)(角度2)(2021·福州模拟)设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(　B　)
A．－112 B．112
C．－60 D．60
(3)(角度1)(2020·全国)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　)
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析]　(1)Tr＋1＝C()8－r· r＝Cx，由8－4r＝0得r＝2，故常数项为T3＝C＝7．
(2)依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r·r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为 T3＝C(－2)2＝112．
(3)(x＋y)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－ryr，
∴(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15，故选C．
考点二　二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研
例3 (1)(2020·河北衡水中学模拟)已知二项式n的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于(　A　)
A．240 B．120
C．48 D．36
(2)(2021·河北邯郸模拟)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　C　)
A．15 B．45
C．135 D．405
(3)(2021·辽宁省朝阳市质量检测)设(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a0＋a2＋a4＋a6＝__8__．
[解析]　(1)∵二项式n的展开式中，
二项式系数之和等于2n＝64，则n＝6，
故展开式的通项公式为Tr＋1＝C·26－r·x，
令＝0，求得r＝2，∴常数项为C·24＝240．故选A．
(2)由题意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－rr＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2,32C＝135，选C．
(3)由题意，令x＝2得
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，
令x＝0得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝16，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝16，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝8．故答案为8．
[引申]在本例(3)中，(1)a0＝__2__；
(2)a1＋a3＋a5＝__－8__；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝__0__；
(4)a2＝__5__．
[解析]　记f(x)＝(1＋x2)(2－x)4，
则(1)a0＝f(1)＝2．
(2)a1＋a3＋a5＝＝＝－8；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝f(2)·f(0)＝0；
(4)令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴a2为(t2＋2t＋2)(1－t)4展开式中t2项的系数，又(1－t)4的通项为C(－t)r，
∴a2＝C＋2×(－1)C＋2C＝5．

名师点拨
赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
*又f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1，
所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f′(1)．
〔变式训练2〕
(1)(2021·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则下列结论中正确的个数为(　C　)
①a0＝1
②a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
③a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
④＋＋＋…＋＝－1
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2020·湖南娄底期末)已知(x3＋)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(　C　)
A．20 B．30
C．40 D．50
[解析]　(1)令x＝0得a0＝1，∴①正确；令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝－1，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，∴②不正确；又a0＋a2＋…＋a2 020＝，∴③正确；令x＝得a0＋＋＋…＋＝0，∴＋＋…＋＝－a0＝－1．∴④正确，故选C．
(2)因为(x3＋)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n＝32，解得n＝5，所以二项式为(x3＋)5．因为5展开式各项系数和为243，令x＝1，代入可得(1＋a)5＝243＝35，解得a＝2，所以二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)5－r·r＝2r·Cx15－4r，所以当展开式为x7时，即x15－4r＝x7，解得r＝2，则展开式的系数为22·C＝4×10＝40．故选C．
考点三,二项式定理的应用——多维探究
例4　角度1　整除问题
(1)设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　D　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)(2021·安徽省安庆一中模拟)9C＋92C＋…＋910C除以11所得的余数为(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．－1
角度2　近似计算
(3)1.028的近似值是__1.172__．(精确到小数点后三位)
[解析]　(1)由于51＝52－1，(52－1)2 012＝C522 012－C522 011＋…－C521＋1，
又由于13整除52，所以只需13整除1＋a,0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12，故选D．
(2)90C＋9C＋92C＋…＋910C－1＝(1＋9)10－1＝1010－1＝(11－1)10－1＝1110－C·119＋C·118－…－C·11＋1－1＝1110－C·119＋C·118－…－C·11，显然所得余数为0，故选A．
(3)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172．
[引申]若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为__7__．
[解析]　由题意原式＝1010－1＝(8＋2)10－1＝810＋C89·2＋…＋C8·29＋210－1＝(810＋C89·2＋…＋C8·29＋8·27－8)＋7．∴余数为7．

名师点拨
1．整除问题的解题思路
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．
2．求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
〔变式训练3〕
(1)(2021·江西联考)1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是(　C　)
A．－1 B．－87
C．1 D．87
(2)0.9986的近似值为__0.989__．(精确到0.001)
[解析]　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝C8810＋C889＋…＋C88＋C＝88k＋1(k为正整数)，所以可知余数为1．
(2)0.9986＝(1－0.002)6＝1－C0.002＋C0.0022－C0.0023＋C0.0024－C0.0025＋C0.0026≈1－C0.002＋C0.0022＝0.988 6≈0.989．

名师讲坛·素养提升
一、二项展开式中系数最大项的问题
例5 已知n的展开式中前三项的系数成等差数列．
①求n的值；
②求展开式中系数最大的项．
[解析]　①由题设，得C＋×C＝2××C，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．
②设第r＋1项的系数最大，则
即解得r＝2或r＝3．
所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x．

名师点拨
求展开式中系数最大的项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
〔变式训练4〕
(2020·山东省德州市高三上期末)6的展开式中，常数项为__60__；系数最大的项是__240x6__．
[解析]　6的展开式的通项为
C·(2x2)6－k·k＝C·26－k·x12－3k，
令12－3k＝0，得k＝4，所以，展开式中的常数项为C·22＝60；
令ak＝C·26－k(k∈N，k≤6)，
令，即，
解得≤n≤，∵n∈N，∴n＝2，因此，展开式中系数最大的项为C·24·x6＝240x6．
二、一项或三项展开式问题
例6 (1)(2021·河南实验中学期中)若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a0＝(　D　)
A．－32 B．－2
C．1 D．32
(2)(2021·安徽合肥质检)在5的展开式中，x2的系数为__－960__．
[解析]　(1)x5＝[2＋(x－2)]5＝a0＋a1(x－2)＋…＋a5(x－2)5．
Tr＋1＝C25－r(x－2)4，
∴a0＝T1＝25＝32．故选D．
(2)解法一：(化为二项展开式问题)
5＝10，
Tr＋1＝C()10－rr＝(－2)rCx5－r，
令5－r＝2，r＝3，所求系数为(－2)3C＝－960．
解法二：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论)
①5个括号中的2个选x,3个选(－4)，这样得到的x2的系数为C·C(－4)3＝－640；
②5个括号中3个选x,1个选，1个选－4，这样得到的x2的系数为CC×4×(－4)＝－320；
∴所求系数为－640－320＝－960．

名师点拨
对一项或三项的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．
注：本题也可如下变形化为二项式求解：5＝5．
〔变式训练5〕
(2021·广东汕头模拟)在(x2－x－2)5的展开式中，x3的系数为(　C　)
A．－40 B．160
C．120 D．200
[解析]　∵(x2－x－2)5＝(x＋1)5(x－2)5，
∴x3的系数为CC(－2)5＋CC(－2)4＋CC(－2)3＋CC(－2)2＝120．
另解：(利用多项式乘法)
CC(－1)×(－2)3＋C(－1)3·(－2)2＝120，故选C．