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2022届高考数学一轮复习 第六章 6.1 数列的概念与简单表示法学案

2022届高考数学一轮复习 第六章 6.1 数列的概念与简单表示法学案

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第一节　数列的概念与简单表示法

【知识重温】
一、必记5个知识点
1．数列的有关概念

概念
含义
数列
按照①________________排列的一列数
数列的项
数列中的②____________
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式③____________表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝④________________________叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法

列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点⑤____________画在平面直角坐标系中
公式法
通项
公式
把数列的通项使用⑥________表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝

4．数列的分类

单调性
递增数列
∀n∈N*，⑨____________
递减数列
∀n∈N*，⑩____________
常数列
∀n∈N*，an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期性
周期数列
∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an

5.常见数列的通项公式
①自然数列：(1,2,3,4，…)　an＝n；
②奇数列：(1,3,5,7，…)　an＝2n－1；
③偶数列：(2,4,6,8，…)　an＝2n；
④平方数列：(1,4,9,16，…)　an＝n2；
⑤2的乘方数列：(2,4,8,16，…)　an＝2n；
⑥倒数列：　an＝；
⑦乘积数列：(2,6,12,20，…)
可化为(1×2,2×3,3×4,4×5，…)　an＝n(n＋1)；
⑧重复数串列：(9,99,999,9 999，…)　an＝10n－1；
⑨(0.9,0.99,0.999,0.999 9，…)　an＝1－10－n；
⑩符号调整数列：(－1,1，－1,1，…)　an＝(－1)n.
二、必明2个易误点
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
二、教材改编
2．[必修5·P67T2改编]数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是(　　)
A．an＝　　 B．an＝
C．an＝ D．an＝
3．[必修5·P33T4改编]在数列{an}中，a1＝1，an＝1－(n≥2)，则a5＝________.

三、易错易混
4．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当前n项和Sn取最大值时，n＝________.
5．已知Sn＝2n＋3，则an＝________.

四、走进高考
6．[2018·全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

　数列的有关概念及通项公式
[自主练透型]
1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
2．数列，－，，－，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n＋1· D．an＝(－1)n＋1·
3．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　　)
A．①②③　　B．①②④ C．②③④　　D．①③④

　悟·技法
　由数列的前几项求数列通项公式的策略
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.

考点二　由an与Sn的关系求通项an
[互动讲练型]
[例1]　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于(　　)
A．27 B．81
C．93 D．243

悟·技法
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写(如本例(1)).
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，且2Sn＝a＋an(n∈N*)．则数列{an}的通项公式为________．
2．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

考点三　由递推关系式求数列的通项公式
[互动讲练型]
考向一：形如an＋1＝an＋f(n)，求an
[例2]　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

考向二：形如an＋1＝anf(n)，求an
[例3]　在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

考向三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
[例4]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．

考向四：形如an＋1＝(A，B为常数)，求an
[例5]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.

悟·技法
典型的递推数列及处理方法

递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
累加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
累乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化为等
比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
化为等
差数列
a1＝1，an＋1＝

[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[累加法]在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
4．[累乘法]已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
5．[待定系数法]已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________________．
6．[取倒数法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项公式an＝________.

第六章　数列
第一节　数列的概念与简单表示法
【知识重温】
①一定顺序　②每一个数　③an＝f(n)　④a1＋a2＋…＋an　⑤(n，an)　⑥公式　⑦S1　⑧Sn－Sn－1　⑨an＋1>an　⑩an＋1<an
【小题热身】
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：数列为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝.
答案：A
3．解析：a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
答案：
4．解析：令an＝－n2＋6n＋7≥0得1≤n≤7(n∈N*)，所以该数列的第7项为0，且从第8项开始an＜0，则该数列的前6项或前7项的和最大．
答案：6或7
5．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2＋3＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1.
由于a1＝5不满足上式，
所以an＝
答案：
6．解析：根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S6＝＝－63.
答案：－63
课堂考点突破
考点一
1．解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
答案：D
2．解析：该数列是分数形式，分子为奇数2n＋1，分母是指数2n，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D选项正确．
答案：D
3．解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．
答案：A
考点二
例1　解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，经检验a1＝4不适合an＝2n＋1，故an＝
(2)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，a4＝a1q3＝34＝81.故选B.
答案：(1)　(2)B
变式练
1．解析：当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，所以an＝(－1)n－1或an＝n.
答案：an＝(－1)n－1或an＝n
2．解析：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，两边同时除以SnSn＋1得－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即Sn＝－.
答案：－
考点三
例2　解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N*)．
例3　解析：∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)．
例4　解析：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
例5　解析：∵an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝.
又a1＝1，∴＝1，
∴是以1为首项，为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×＝，
∴an＝.
答案：
变式练
3．解析：原递推公式可化为
an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，逐项相加得，
an＝a1＋1－，故an＝4－.
答案：4－
4．解析：∵an＋1＝2nan，∴＝2n，当n≥2时，an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2.又a1＝1也符合上式，∴an＝2.
答案：2
5．解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，
所以4an－an＋1＋1＝0.
所以an＋1＋＝4.
因为a1＝3，所以a1＋＝.
故数列是首项为，公比为4的等比数列．
所以an＋＝×4n－1，
故数列{an}的通项公式为
an＝×4n－1－.
答案：an＝×4n－1－
6．解析：由an＋1＝，得＝1＋，所以＋1＝2，故是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，则＋1＝2n.∴an＝.
答案：