2022高考数学一轮复习-素养提升微专题2—抽象函数的定义域的类型及求法学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 素养提升微专题2—抽象函数的定义域的类型及求法学案北师大版

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抽象函数的定义域的类型及求法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.
类型一　已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域
其解法是:若f(x)的定义域为[a,b],则在f[g(x)]中,令a≤g(x)≤b,从中解得x的取值范围即为f[g(x)]的定义域.
【例1】已知函数f(x)的定义域为[-1,5],求f(3x-5)的定义域.
【解题指导】该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知-1≤u≤5,即-1≤3x-5≤5,求x的取值范围.
解∵f(x)的定义域为[-1,5],
∴-1≤3x-5≤5,∴43≤x≤103,
故函数f(3x-5)的定义域为43,103.
类型二　已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域
其解法是:若f[g(x)]的定义域为m≤x≤n,则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
【例2】已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f(x)的定义域.
【解题指导】令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),
由于f(u)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域.
解由0≤x≤3,得1≤x2-2x+2≤5.
令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),1≤u≤5.
故f(x)的定义域为[1,5].
类型三　已知f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域
其解法是:先由f[g(x)]的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f [h(x)]的定义域.
【例3】函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是(　　)

A.0,52
B.[-1,4]
C.[-5,5]
D.[-3,7]
答案A
解析因为f(x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4,则f(x)的定义域是[-1,4].由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤52,所以f(2x-1)的定义域是0,52.故选A.
类型四　运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.
【例4】若函数f(x)的定义域是[-3,5],求φ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域.
解由f(x)的定义域为[-3,5],则φ(x)必有-3≤-x≤5,-3≤2x+5≤5,解得-4≤x≤0.
所以函数φ(x)的定义域为[-4,0].